Lycée La Martinière Monplaisir Année 2021/2022
MPSI - Mathématiques le 27 septembre
Devoir à la maison n° 4
À rendre le 7 octobre
Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
1) a) Représenter la fonction Arctan sur son ensemble de définition.
b) Montrer que Arctan(x)+Arctan(1/x) = π/2 pour toutx >0. Que vaut cette expression pourx <0 ?
c) Justifier l’existence et donner la valeur de la limite suivante : lim
x→0
Arctan(x) x 2) Soit x >0 et y∈R. On pose θ= Arctan(x) + Arctan(y).
a) Montrer que −π
2 < θ < π.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur x ety pour que θ= π 2. c) Montrer : θ < π
2 ⇐⇒ xy <1.
d) Calculer, lorsque c’est possible tanθ.
En déduire, suivant les valeurs dex >0 et y réel, θ en fonction de Arctan x+y 1−xy
!
. e) A l’aide de x=p+ 1 ety =−p, déterminer la limite quand n→+∞ de :
Sn =
n
X
p=0
Arctan 1
p2+p+ 1
!
3) Soit f la fonction définie par
f(x) = Arctan
s1−cosx 1 + cosx
a) Déterminer l’ensemble de définition de f.
b) Montrer que l’on peut restreindre l’étude def à l’intervalle [0, π[. Préciser les transfor- mations géométriques nécessaires pour obtenir toute la courbe de f.
c) On cherche à simplifierf par deux méthodes différentes : i) Première méthode :
Redémontrer les formules qui expriment cos2t et sin2t en fonction de l’angle 2t, pour toutt ∈R.
En déduire une expression simplifiée de f sur [0, π[.
ii) Seconde méthode :
Préciser l’ensemble sur lequel f est dérivable et calculer f0 sur cet ensemble.
En déduire f sur [0, π[.
d) Donner une représentation graphique de f sur son ensemble de définition.
— FIN —
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