Devoir maison 5 à rendre le 8 octobre

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PC DM5

Partie I Pour tout réel a, on note :

𝐸(𝑎) = {𝑃 ∈ ℝ[𝑋], 𝑃(𝑎) = 0}

I.1. Montrer que pour tout réel a, E(a) est un sous espace vectoriel de [X]

I.2. On considère deux réels a et b distincts.

I.2.1. Montrer qu’il existe deux réels c et d tels que c(X  a) + d(X  b ) = 1 I.2.2. En déduire que [X] = E(a) + E(b)

I.2.3. Les sous espaces vectoriels E(a) et E(b) sont-ils supplémentaires ? I.3. On note :

𝐹 = ℝ [𝑋] ∩ 𝐸(1) I.3.1 Justifier que 𝐹 est un espace vectoriel de dimension finie.

I.3.2 Déterminer une base de 𝐹

Partie II : Interpolation de Lagrange Soient 𝑛 ∈ ℕ^∗ et un (𝑛 + 1)-uplet (𝑎 , 𝑎 , … , 𝑎 ) de réels deux à deux distincts.

On considère l’application :

𝜑: ℝ [𝑋] ⟶ ℝ 𝑃 ⟼ 𝑃(𝑎 ), 𝑃(𝑎 ), … 𝑃(𝑎 ) II.1 Montrer que 𝜑 est une application linéaire.

II.2 Montrer que 𝜑 est un isomorphisme.

II.3 Pour 𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛⟧, on note 𝐿 le polynôme (sous réserve d’existence) tel que : 𝐿 (𝑎 ) = 1 𝑒𝑡 ∀𝑗 ∈ ⟦0, 𝑛⟧\{𝑘} 𝐿 𝑎 = 0 Montrer l’existence et l’unicité du polynôme 𝐿 dans ℝ [𝑋]

II.4 Montrer que la famille (𝐿 , … , 𝐿 ) est une base ℝ [𝑋]

II.5 Donner une expression de 𝐿 (𝑋) sous forme factorisée.

II.6 Montrer que pour toute (𝑛 + 1)-uplet (𝑏 , 𝑏 , … , 𝑏 ) de réels, il existe un unique polynôme 𝑃 ∈ ℝ [𝑋] tel que :

∀𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛⟧, 𝑃(𝑎 ) = 𝑏 II.7 Exprimer alors le polynôme 𝑃 dans la base (𝐿 , … , 𝐿 )

II.8 Soit la matrice

0 0

1 1

1 1 1

n n

n nn

a a

a a

A

a a

 

 

 

  

 

 

 





   



Sans utiliser le déterminant, dire si la matrice 𝐴 est inversible.

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II.9 On note 𝑇 le polynôme :

T(𝑋) = (𝑋 − 𝑎 )

On note 𝑇[𝑋] = {𝑇𝑃, 𝑃 ∈[𝑋]} C’est-à-dire 𝑇[𝑋] est l’ensemble des polynômes multiples de 𝑇.

Montrer que :

[𝑋] = ℝ [𝑋]⨁𝑇[𝑋]

II.10 Expliciter la projection sur ℝ [𝑋] et parallèlement à 𝑇[𝑋] à l’aide des polynômes de la famille (𝐿 , … , 𝐿 )

Partie III : estimation de l’erreur

Soit a b et soit une fonction ^{f : ,}

 

 

 

 

n n

P  X l’unique polynôme qui vérifie ^{ i}

 

^{ }

^{ }

On suppose que ^{f }^n1

  



 

 

x a b

  ,

     

 

 

0

1 !

n

i n

i n

x a

f x P x f

n ^ 





 





On pourra utiliser la fonction

     

       

0

0

:

n i i

n n n

i i

t a

W t f t P t f x P x

x a







  









III.12 En déduire l’existence d’un réel M tel que :

 

x a b

  ,

     

 

1

1 !

n n

M b a f x P x

n

 

  