DEVOIR A LA MAISON N°5 2

DEVOIR A LA MAISON N°5 2 ^nde 7.

Pour le mercredi 23 novembre 2016.

SUJET B.

Ce DM n est pas un DM d application directe du cours. Vous devez choisir ce sujet si vous êtes à l aise avec les exercices faits en classe.

I. Dans la fabrication d'une tente canadienne, on veut obtenir une ventilation maximale lorsque l'entrée est ouverte ou la moustiquaire installée.

On a schématisé ci-dessous l'entrée de la tente par un triangle équilatéral ABC de 2 m de côté.

Le rectangle MNPQ inscrit dans ABC correspond à la découpe de la porte.

Soit H le milieu de [BC ].

Il s'agit donc de placer M sur [BH ] de sorte que l'aire du rectangle MNPQ soit maximale.

On note x la longueur BM et A (x ) l aire du rectangle MNPQ . 1. Donner l ensemble de définition D de la fonction A.

2. Exprimer A (x ) en fonction de x.

3. A l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de la valeur de x telle que A( x ) soit maximale. Expliquer votre démarche.

4. Vérifier que, pour tout x de D, A( x) 2 3

 

  1

4 −

 

  x− ¹

2

2

et en déduire la solution exacte du problème. Justifier.

II. Une entreprise A emploie 5 techniciens et 30 ouvriers. Une entreprise B emploie 42 personnes, réparties entre techniciens et ouvriers. Pour chacune des entreprises, le salaire moyen des techniciens est 2760€ et celui des ouvriers est 1680€. Mais le salaire moyen dans l’entreprise B est inférieur de 36€ au salaire moyen dans l’entreprise A. Déterminer la répartition des employés dans l’entreprise B.

H

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°5. 2de7 SUJET B.

I.

1. BH 1 et M est un point de [ BH ] donc x 1. L ensemble de définition de A est D [0 1].

2. Soit x un réel compris entre 0 et 1.

Calculons AH : d après le th de Pythagore, AH ² 2² 1² 3 donc AH 3 . Calculons MQ : d après le th de Thalès, BM

BH

MQ

HA , c'est-à-dire M Q BM HA

BH x 3 Calculons MN : MN 2 2x .

Alors, pour tout x de D, A (x ) M Q M N (2 2 x )x 3 .

3. A la calculatrice, on construit un tableau de valeurs de la fonction A et une courbe de la fonction A puis, à l aide de la fonction Trace , on cherche une valeur approchée du maximum de f et de la valeur de x pour laquelle il est atteint.

Il semble que l aire soit maximale lorsque x 0,5m, c'est-à-dire lorsque M est au milieu du segment [ AH].

4. Soit x un réel compris entre 0 et 1.

D une part, A( x) (2 2 x) x 3 2x 3 2x ² 3 D autre part, 2 3

 

  1

4 −  

  x− ¹

2

2

2 3

 

  1

4  

  x² x ¹

4 2 3

 

  1

4 x² x ¹

4 2 3( x x²) 2 x 3 2 x² 3

Ainsi, pour tout x de D [0 1], A (x ) 2 3

 

  1

4 −  

  x− ¹

2

2

A(x) est maximal lorsque

 

  x ¹

2

2

est minimal (car "on enlève

 

  x ¹

2

2

").

Le carré d un réel étant toujours positif ou nul,

 

  x ¹

2

2

est minimal lorsqu il est nul, c'est-à-dire lorsque x 1

2 0,5.

Ainsi, l aire A (x ) est maximale lorsque x 0,5m, c'est-à-dire lorsque M est au milieu du segment [ AH]. On retrouve le résultat conjecturé à la calculatrice.

II. Le salaire moyen dans l’entreprise A est 5×2760+30×1680

35 = 12840 7 Soit x le nombre de techniciens de l’entreprise B. Le nombre d’ouvriers est 42 − x.

On a alors 2760x +1680(42−x)

42 = 12840

7 − 36 = 1588 7 x ≈ 5.

Dans l’entreprise B, il y a 5 techniciens et 37 ouvriers.