1. a. La fonction

MPSI B Année 2019-2020 Énoncé DM 6 pour le 25/11/19 4 novembre 2019

Problème 1

1. a. La fonction

]0, π[ → ]0, 4[

t → 2(1 − cos t)

est bijective, dérivable et sa dérivée ne s'annule pas dans ]0, π[ . On note f sa bijection réciproque, préciser la dérivée de f

b. La fonction

]0, +∞[ → ] − ∞, 0[

t → 2(1 − ch t)

est bijective, dérivable et sa dérivée ne s'annule pas dans ]0, π[ . On note g sa bijection réciproque, préciser la dérivée de g

2. a. Calculer les réels a et b tels que pour tout réel x diérent de 0 et de 4, on ait x − 2

x(x − 4) = a

x + b

x − 4

b. Préciser dans chaque intervalle l'ensemble des solutions de l'équation diérentielle x(x − 4)y

+ (x − 2)y = 0

c. Quelles sont les fonctions continues et dérivables dans R et vériant l'équation dans R.

3. a. Montrer que la fonction

est solution dans ]0, 4[ d'une équation diérentielle linéaire du premier ordre à préciser.

b. Montrer que la fonction

est solution dans ] − ∞, 0[ d'une équation diéren- tielle linéaire du premier ordre à préciser.

Exercice

On dénit la somme parallèle

de deux réels strictement positifs par :

∀(a, b) ∈ ]0, +∞[

, a//b = ab a + b .

1d'après X 99 PC 1

1. Cette opération est-elle commutative, associative, admet-elle un élément neutre ? 2. Soit x un réel quelconque. Montrer que

(a//b)x

= inf{ay

+ bz

, (y, z) ∈ R

tq y + z = x}

Cette borne inférieure est-elle un plus petit élément ?

Si oui, pour quels couples (y

, z

) la relation (a//b)x

= ay

+ bz

est-elle satisfaite ? 3. Interpréter physiquement les résultats de la question précédente en prenant pour y et

z les intensités des courants électriques qui traversent des résistances a et b montées en parallèle.

4. Soit a , b , c , d des réels strictement positifs et x un réel quelconque. Montrer que (a//c)x

+ (b//d)x

≤ ((a + b)//(c + d))x

.

Interpréter physiquement cette inégalité.

5. Soient α

, α

, . . . , α

et β

, β

, . . . , β

des réels strictement positifs. Montrer que

k

X

i=1

(α

//β

) ≤

k

X

i=1

α

! //

k

X

i=1

β

! .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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