() () () Aide : e k équivaut à x ln( k ) [touche ln de la calculatrice]. DES EXEMPLES DAPPLICATIONS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE. DEVOIR A LA MAISON N°11. TS3.

DEVOIR A LA MAISON N°11. TS3.

Pour le mercredi 21 janvier 2015.

DES EXEMPLES D APPLICATIONS DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.

Les fonctions exponentielles sont beaucoup utilisées pour décrire des phénomènes naturels et sociaux, en particulier des phénomènes d évolution.

Par exemple :

En médecine, les fonctions exponentielles sont utilisées pour décrire la croissance des bactéries, l évolution de la concentration de produits dans le sang, l analyse des courbes de marqueurs cancéreux...

En physique, la décroissance radioactive, certaines réactions chimiques... peuvent être modélisées à l aide de la fonction exponentielle.

En économie, le calcul d un capital après un certain nombre d années, l évolution de la population mondiale ... peuvent être modélisées à l aide de la fonction exponentielle.

Aide : e

k équivaut à x ln(k) [touche ln de la calculatrice].

I.

A. Lorsqu on injecte un médicament dans le sang d un patient, il est peu à peu éliminé par l organisme.

La concentration d un médicament présent dans le sang t minutes après l injection est C (t ) C

e

où : t est le temps exprimé en minutes (t 0).

C (t) est la concentration à l instant t, exprimée en mg.L

.

C

est la concentration à l instant 0 (immédiatement après l injection).

k est un coefficient qui dépend du médicament et du patient.

1. Montrer que la durée T, au bout de laquelle la concentration a diminué de moitié vérifie l équation e

0,5. Cette durée T est appelée la demi-vie du médicament.

2. Un étudiant affirme : "Après une administration unique, il faut attendre sept demi-vies pour qu un médicament soit éliminé à plus de 99%". A-t-il raison ?

B. On considère maintenant un patient qui absorbe par voie orale un médicament donné. Le principe actif n est alors pas immédiatement présent dans le sang mais se diffuse petit à petit. Sa concentration est

modélisée par la fonction D définie sur + par D( t) 8 ( ^e

^e

) ^{où e = e}

^.

1. Déterminer la limite de D en + . 2. Montrer que pour tout t 0, D (t ) 2

25 e

et

100

( ^e

^e )

3. Résoudre l inéquation ( ^e

^e ) < 0 puis étudier les variations de la fonction D.

4. Quelle aura été, au centième de mg .L

près la concentration maximale C

dans le sang ? II. On note f (t ) le nombre de ménages vivant en France équipés d’un ordinateur ( t en années et f (t ) en millions). On pose t = 0 en 1980.

Des économistes ont montré que f (t ) = 

  e

. 1. Dresser le tableau de variation de f.

2. Déterminer lim

t

f (t ) et en donner une interprétation.

3. En quelle année le nombre de ménages équipés a-t-il atteint la moitié de cette valeur ? III. Un corps est placé dans une enceinte dont on maintient la température constante, égale à 20°C.

A l’instant initial t = 0, sa température est de 70°C et, après 5 minutes, elle n’est plus que de 60°C.

La température du corps (en °C) est une fonction T du temps t (en min), définie sur [0 ; + [. La loi du refroidissement de Newton énonce que T ′ est proportionnelle à T  20.

On admet que T est de la forme : t

ke

+ 20, où a et k sont des réels.

1. Déterminer a et k.

2. Au degré près, quelle sera la température du corps après une demi-heure ?

3. A la minute près, au bout de combien de temps aura-t-il une température de 40°C ?

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°11. TS3

I.

A.

1. Soit T la durée bout de laquelle la concentration a diminué de moitié C (T ) C

2 C

e

C

2 e

1

2 e

0,5.

2.

Après 7 demi-vies : t 7T , c'est-à-dire kt 7 kT c'est-à-dire e

e

Or e

( e

)

0,5

0,0078125

Donc après 7-demi-vies : C (t ) 0,0078125C

< 1 100 C

.

De même, après 6 demi-vies : C( t) 0,5

C

et 0,5

C

0,0115625C

> 1 100 C

Il faut donc bien attendre sept demi-vies pour qu il reste moins de 1% du médicament, c'est-à- dire pour il soit éliminé à plus de 99%.

B.

1.

t

t 100 t

et

100 = et lim

X

e

0 donc lim

t

D( t) 8(0 0) 0.

2. D est dérivable sur +. Pout tout t 0, on a D ( t) 8[ 1

100 e

t 100

 

  e 100 e

et

100

] = 8 100 e

et 100

 

 

 

 

t 100

e ^et 100

e 2

25 e

et

100

( ^e

^e )

3. Pour tout t de +, 2 25 e

et

100

< 0 (pour tout réel x, e

> 0)

( ^e

^e ) ^{< 0 e}

^e

^{(e 1) t}

100 1 t 100

e 1 car e 1 0.

On a donc le tableau de variations :

t 0 100

e 1 + 2

25 e

et 100

( ^e

^e ) ⁺

D (t ) +

D( t) 2,83

0 0 D  

 

e 1

= 8 ( ^e

^e

) ^2,83.

4. La concentration maximale C

dans le sang aura été environ 2,83 m g.L

. II.

1. t étant une durée, t  0 donc f est définie sur

. f est dérivable sur + et pour tout t de +,

f (t ) =   ,  e

  e

² =   ,  e

  e

² > 0 car une exponentielle est toujours strictement positive.

Ainsi f est strictement croissante sur +.

2. lim

t

e

= 0 donc lim t

f(t) = 20. Le nombre de ménages équipés va donc tendre vers 20 millions mais sans jamais atteindre cette valeur.

3. f( x) = 10  

  e

0  e

= 

  e

= 2000  x = ln

,  17,3.

1980 + 17 = 1997. En 1997, 10 millions de ménages seront équipés.

III.

1. A l instant t 0 : T (0) 70 donc ke

20 70, c'est-à-dire k 50.

A l instant t 5 : T (5) 60 donc 50 e

+20 60, c'est-à-dire e

0,8 et donc a ln(0,8) 5 . T est définie sur + par T ( t) 50 e

ln(0,8)t

5

+20

2. Après 30 minutes : T(30) 33. Au bout d une demi-heure, le corps sera à environ 33°C.

3. T (t) 40 50 e

ln(0,8)t

5

20 40 e

ln(0,8)t

5

2

5

ln(0,8) t

5 ln

 

 

t

5ln  

 

ln(0,8) 21.

Le corps aura une température de 40°C après 21 minutes environ.