 ∏k=1n ai=k=1 ∑n lnak

Chapitre IX : Fonctions logarithmes

I – Définition et premières propriétés :

La fonction exponentielle est une fonction continue, dérivable, strictement croissante de ℝ dans [0;∞[ , d'où exponentielle est une bijection de ℝ dans ]0;∞[ et donc il existe une fonction réciproque définie sur ]0;∞[ à valeur dans ℝ . Cette fonction est la fonction logarithme népérien.

Définition 1: On appelle logarithme népérien, la fonction notée ln, réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés 1:

1. ln est définie sur ]0;∞[ .

2. Pour tout x∈]0;∞[ et pour tout y∈ℝ lnx=y⇔x=e^y . 3. Pour tout x∈]0;∞[,e^lnx=x .

4. Pour tout y∈ℝ,lne^y=y . 5. ln 1 =0 .

6. lne=1 .

Propriété 2: Dans un repère orthonormal la courbe représentative de ln est la courbe symétrique de celle de exp par rapport à la droite d'équation y=x .

Tracer :

Propriété 3 : La fonction ln est strictement croissante sur ]0;∞[

Propriété 4 : Soient a et b deux réel strictement positif.

1. lna=lnb⇔a=b . 2. lnalnb⇔ab II Propriétés algébriques du logarithme :

Propriété fondamentale 5:

1. Pour tout nombre a et b strictement positifs on a : lnab=lnalnb 2. Pour tout nombre réel a_{1 ,} a_2, ⋯, a_n ln

 ^∏



^∑

Propriétés 6 : Soient a et b deux réels strictement positifs, n un entier relatif alors on a : 1. ln









3. lnaⁿ=n×lna 4. ln



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III-Propriétés analytiques de ln : Propriétés 7 :

1. _x∞^{lim lnx=∞} . 2. ^lim_x0 ^{lnx=−∞}

3. lim

x∞

lnx

x =0 4. lim

x0⁺

xlnx=0⁺ . Propriétés 8 :

1. La fonction ln est continue sur ]0;∞[

2. La fonction ln est dérivable sur ]0;∞[ et on a ln'x=1 x Démonstration :

On en déduit le tableau de variations : donc le tableau de variation suivant :

x 0 ∞

ln(x)

∞

−∞

Et l'approximation de ln1h au voisinage de 0 : IV- Logarithme décimal :

Définition 2 : La fonction logarithme décimal est la fonction, notée log, définie sur ]0;∞[ par : logx= lnx

ln 10 Propriétés 9 :

1. log 10=1

2. Pour tout nombre a et b strictement positifs on a : logab=logalogb Les autres propriétés algébriques restent valables.

IV-ln(u)

Propriété 10 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I tel que : pour tout x de I ux0 , alors la fonction lnu:xlnux est dérivable sur I et on a :

pour tout x de I : lnu'x=u 'x ux Exemple : f x=ln2 x²4 x4 Remarque : Si pour tout x de I, ux0 ;

alors ln−u est dérivable sur I et on a : ln−u'x=u 'x ux .

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