Chapitre IX : Fonctions logarithmes
I – Définition et premières propriétés :
La fonction exponentielle est une fonction continue, dérivable, strictement croissante de ℝ dans [0;∞[ , d'où exponentielle est une bijection de ℝ dans ]0;∞[ et donc il existe une fonction réciproque définie sur ]0;∞[ à valeur dans ℝ . Cette fonction est la fonction logarithme népérien.
Définition 1: On appelle logarithme népérien, la fonction notée ln, réciproque de la fonction exponentielle.
Propriétés 1:
1. ln est définie sur ]0;∞[ .
2. Pour tout x∈]0;∞[ et pour tout y∈ℝ lnx=y⇔x=ey . 3. Pour tout x∈]0;∞[,elnx=x .
4. Pour tout y∈ℝ,lney=y . 5. ln 1 =0 .
6. lne=1 .
Propriété 2: Dans un repère orthonormal la courbe représentative de ln est la courbe symétrique de celle de exp par rapport à la droite d'équation y=x .
Tracer :
Propriété 3 : La fonction ln est strictement croissante sur ]0;∞[
Propriété 4 : Soient a et b deux réel strictement positif.
1. lna=lnb⇔a=b . 2. lnalnb⇔ab II Propriétés algébriques du logarithme :
Propriété fondamentale 5:
1. Pour tout nombre a et b strictement positifs on a : lnab=lnalnb 2. Pour tout nombre réel a1 , a2, ⋯, an ln
∏k=1n ai
=k=1 ∑
n lnak
Propriétés 6 : Soient a et b deux réels strictement positifs, n un entier relatif alors on a : 1. ln
1 a
=−lna 2. ln
ab
=lna−lnb3. lnan=n×lna 4. ln
x=1 2 lnxLycée Dessaignes Page 1 sur 2
III-Propriétés analytiques de ln : Propriétés 7 :
1. x∞lim lnx=∞ . 2. limx0 lnx=−∞
3. lim
x∞
lnx
x =0 4. lim
x0+
xlnx=0+ . Propriétés 8 :
1. La fonction ln est continue sur ]0;∞[
2. La fonction ln est dérivable sur ]0;∞[ et on a ln'x=1 x Démonstration :
On en déduit le tableau de variations : donc le tableau de variation suivant :
x 0 ∞
ln(x)
∞
−∞
Et l'approximation de ln1h au voisinage de 0 : IV- Logarithme décimal :
Définition 2 : La fonction logarithme décimal est la fonction, notée log, définie sur ]0;∞[ par : logx= lnx
ln 10 Propriétés 9 :
1. log 10=1
2. Pour tout nombre a et b strictement positifs on a : logab=logalogb Les autres propriétés algébriques restent valables.
IV-ln(u)
Propriété 10 : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I tel que : pour tout x de I ux0 , alors la fonction lnu:xlnux est dérivable sur I et on a :
pour tout x de I : lnu'x=u 'x ux Exemple : f x=ln2 x24 x4 Remarque : Si pour tout x de I, ux0 ;
alors ln−u est dérivable sur I et on a : ln−u'x=u 'x ux .
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