TS7 DS 7 17 mars 2020 Dur´ ee 120 minutes. Le bar` eme est donn´ e ` a titre indicatif.
Exercice 1 : Exercices classiques (30 minutes) (6 points)
1. D´ eterminer le plus petit entier n tel que 0, 7
n< 0, 001 ; 2. ´ Ecrire sous la forme ln(k) le nombre 1 + 2 ln 6 − ln 2 ; 3. Soit f d´ efinie sur R par f (x) = ln(e
x+ 1). D´ eriver f ; 4. R´ esoudre 2e
x− 3 > 9 ;
5. Dans un rep` ere orthonorm´ e (O;~i;~j; ~ k), on consid` ere ~ u(−2; 3; 1) et ~ v(3; 0; 3). D´ eterminer un vecteur normal ` a ~ u et ~ v.
6. Soient P
1et P
2les plans d’´ equations x + y + z = 0 et x + 4y + 2 = 0.
(a) D´ emontrer que les plans P
1et P
2sont s´ ecants ;
(b) V´ erifier que la droite d, intersection des plans P
1et P
2, a pour repr´ esentation param´ etrique
x = −4t − 2 y = t z = 3t + 2
, t ∈ R.
Exercice 2 : Espace (40 minutes) (7 points)
L’espace est rapport´ e ` a un rep` ere orthonorm´ e
O ; − → ı , − →
, − → k
. On consid` ere les points A(10 ; 0 ; 1), B(1 ; 7 ; 1) et C(0 ; 0 ; 5).
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
1. La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléa- toire, notéeX, suivant une loi normale d’espérance 5 000 et d’écart- type 420. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à 4,5 kg.
On choisit au hasard un panier de grande taille.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?
2. Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notéeY, suivant une loi normale d’espérance 5 000 et d’écart-type σ. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de 0,04.
Déterminer la valeur deσarrondie à l’unité.
Partie C
Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se déve- loppent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.
Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que 88 % des adhérents de ces associations sont satisfaits.
Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de 120 adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls 100 ont indiqué être satisfaits.
La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?
EXERCICE2 5 points
Commun à tous les candidats
L’espace est rapporté à un repère orthonormé! O ;→−
ı,−→ ȷ,−→
k"
. On considère les points A(10; 0; 1), B(1; 7; 1) et C(0; 0; 5).
z
y
x O
C
D
A F B
E
1. a. Démontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.
b. Déterminer la mesure, en degré, de l’angleAOB, arrondie au dixième.# 2. Vérifier que 7x+9y−70z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).
Antilles–Guyane 2 9 septembre 2019
1. a. D´ emontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.
b. D´ eterminer la mesure, en degr´ e, de l’angle AOB, arrondie au dixi` [ eme.
2. V´ erifier que 7x + 9y − 70z = 0 est une ´ equation cart´ esienne du plan (OAB).
3. D´ eterminer une repr´ esentation param´ etrique de la droite (CA).
4. Soit D le milieu du segment [OC]. D´ eterminer une ´ equation du plan P parall` ele au plan (OAB) passant par D.
5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.
D´ eterminer les coordonn´ ees du point F. On admet que le point E a pour coordonn´ ees
12;
72; 3
.
6. D´ emontrer que la droite (EF) est parall` ele ` a la droite (AB).
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Exercice 3 : Fonction ln (40 minutes) (7 points)
Soit g la fonction d´ efinie sur ]0 ; +∞[ par
g(x) = 4x − x ln x.
On admet que la fonction g est d´ erivable sur ]0 ; +∞[ et on note g
0sa d´ eriv´ ee.
Partie A
Le graphique ci-contre repr´ esente une partie de la courbe repr´ esentative de la fonction g obtenue par un ´ el` eve sur sa calculatrice. Cet ´ el` eve ´ emet les deux conjectures suivantes :
• il semble que la fonction g soit positive ;
• il semble que la fonction g soit strictement croissante.
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA).
4. Soit D le milieu du segment [OC]. Déterminer une équation du plan P parallèle au plan (OAB) passant par D.
5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.
Déterminer les coordonnées du point F. On admet que le point E a pour coordonnées!1
2; 72; 3"
. 6. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
EXERCICE3 5 points
Commun à tous les candidats
Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par
g(x)=4x−xlnx.
On admet que la fonctiongest dérivable sur ]0 ;+∞[ et on noteg′sa dérivée.
Partie A
Le graphique ci-contre représente une partie de la courbe représentative de la fonctiong obte- nue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :
• il semble que la fonctiongsoit positive ;
• il semble que la fonction g soit stricte- ment croissante.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.
1. Résoudre l’équationg(x)=0 sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. Déterminer le signe deg(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées?
Partie B
Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonctiong. 1. a. On rappelle que
t→+∞lim lnt
t =0.
En déduire que
xlim→0xlnx=0.
b. Calculer la limite deg(x) lorsquextend vers 0.
2. a. Démontrer que, pour tout réelxstrictement positif,g′(x)=3−lnx.
b. Dresser le tableau de variations de la fonctiong. 3. On désigne parGla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par
G(x)=1
4x2(9−2lnx).
On admet que la fonctionGest dérivable sur ]0 ;+∞[.
Antilles–Guyane 3 9 septembre 2019
L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.
1. R´ esoudre l’´ equation g(x) = 0 sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
2. D´ eterminer le signe de g(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
3. Les conjectures de l’´ el` eve sont-elles v´ erifi´ ees ? Partie B
Dans cette partie, on poursuit l’´ etude de la fonction g.
1. a. On rappelle que
t→+∞
lim ln t
t = 0.
En d´ eduire que
x→0
