MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Cet exercice porte sur l'existence de solutions paires ou impaires d'équations diréntielles linéaires. Toutes les fonctions considérées sont à valeurs dans C. Pour toute fonction f de R dans C, on dénit f ∗ par :
∀x ∈ R , f ∗ (x) = f (−x).
1. a. Quelle est la valeur en 0 d'une fonction impaire ?
b. Soit f une fonction dérivable dans R. Étudier la parité de f 0 suivant celle de f . c. Soit f une fonction continue dans R et F une primitive de f . Discuter de la parité
de F suivant celle de f .
2. Dans cette question, a est une fonction continue de R dans C. On considère une équa- tion diérentielle
(H) y 0 + ay = 0
dont les solutions sont des fonctions dérivables dénies dans R.
a. Préciser l'ensemble des solutions de H . Que peut-on dire d'une solution qui prend la valeur 0 ou dont la dérivée prend la valeur 0 ?
b. Montrer qu'une solution non nulle n'est pas impaire.
c. Montrer que s'il existe une solution paire non nulle alors a est impaire.
d. Montrer que si a est impaire alors toutes les solutions sont paires.
3. Dans cette question, a et h sont des fonctions continues de R dans C. On considère une équation diérentielle
(E) y 0 + ay = h
dont les solutions sont des fonctions dérivables de R dans C.
a. Montrer que E admet au plus une solution impaire.
b. Montrer que si E admet deux solutions paires distinctes alors a et h sont impaires.
c. Soit z une solution de E , de quelle équation z ∗ est-elle solution ?
d. On suppose ici que a et h sont impaires. En considérant z −z ∗ pour toute solution z de E , montrer que toute solution de E est paire.
e. Rédiger une deuxième démonstration du résultat de la question précédente en utilisant l'expression des solutions de E avec des primitives.
4. Dans cette question, a et b sont des fonctions continues de R dans C. On considère une équation diérentielle
(H 2 ) y 00 + ay 0 + by = 0 dont les solutions sont des fonctions dérivables de R dans C.
a. On suppose ici a impaire et b paire.
Montrer que, pour toute fonction z dérivable dans R, z est solution de H 2 si et seulement si z ∗ est solution de H 2 . Que peut-on en déduire pour la partie paire et la partie impaire d'une solution ?
b. Soit (y 1 , y 2 ) un couple de solutions de H 2 . On dénit la fonction W par : W =
y 0 1 y 1
y 0 2 y 2
Montrer que W est solution d'une équation diérentielle du premier ordre très simple (à préciser). En déduire que s'il existe x 0 réel tel que W (x 0 ) 6= 0 alors W (x) 6= 0 pour tous les réels x .
c. On suppose ici que (y 1 , y 2 ) est un couple de solutions pour lequel W ne s'annule pas. De plus chacune des deux fonctions y 1 et y 2 est paire ou impaire. Dans les quatre cas possibles : ( y 1 et y 2 paires), ( y 1 et y 2 impaires), ( y 1 paire et y 2 impaire), ( y 1 impaire et y 2 paire), préciser les parités de a et b .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aeqd20MPSI B 29 juin 2019
Corrigé
1. a. Si f est une fonction impaire, f (0) = f (−0) = −f (0) donc f (0) = 0 . Une fonction impaire est toujours nulle en 0 .
b. Pour une fonction dérivable f , la fonction f ∗ est dérivable et l'expression de la dérivée d'une fonction composée conduit à f ∗0 (x) = −f 0 (−x) . On en déduit
f paire ⇒ f ∗ = f ⇒ f 0 (x) = −f 0 (−x) ⇒ f 0 impaire f impaire ⇒ f ∗ = −f ⇒ −f 0 (x) = −f 0 (−x) ⇒ f 0 paire.
c. On va montrer l'alternative suivante pour une fonction non nulle.
Si f est impaire, toutes les primitives de f sont paires.
Si f est paire, une seule primitive de f est impaire, celle qui prend la valeur 0 en 0 .
Notons F 0 la primitive de f nulle en 0 . Supposons f impaire, alors : (F 0 − F 0 ∗ ) 0 (x) = f (x) + f (−x) = 0
La fonction F 0 − F 0 ∗ est donc constante. Or elle est nulle en 0 , elle est donc identiquement nulle ce qui signie que F 0 est paire. Toute autre primitive est obtenue à partir de F 0 en ajoutant une constante (fonction paire), elle est donc également paire.
Supposons f paire :
(F 0 + F 0 ∗ ) 0 (x) = f (x) − f (−x) = 0
La fonction F 0 + F 0 ∗ est donc constante. Or elle est nulle en 0 , elle est donc identiquement nulle ce qui signie que F 0 est impaire. En revanche, les autres fonctions sont obtenues en ajoutant une constante (fonction paire), elles ne sont donc ni paires ni impaires. La fonction F 0 est la seule impaire.
2. a. Soit A une primitive de a . Les solutions de l'équations H sont les fonctions t 7→ λe −A(t) avec λ ∈ C .
Comme la fonction exponentielle complexe ne s'anulle pas, une solution qui prend la valeur 0 est identiquement nulle. La dérivée d'une solution non identiquemnt nulle peut pendre la valeur 0 mais uniquement en un point où a s'annule.
b. Une solution non nulle ne s'annule pas, une fonction impaire s'annule en 0 donc une solution non nulle n'est pas impaire.
c. S'il existe une solution z paire non identiquement nulle, elle ne s'annule pas et on peut écrire
a = − z 0 z avec z paire et z 0 impaire donc a impaire.
d. Si a est impaire, d'après la discussion de la première question, toute primitive A de a est paire donc toute solution λe −A est aussipaire.
3. a. Si y 1 et y 2 sont deux solutions distinctes et impaires de E alors y 1 − y 2 est une solution impaire et non nulle de l'équation homogène H en contradiction avec le résultat de la question 2b.
b. Si y 1 et y 2 sont deux solutions distinctes et paires de E alors y 1 − y 2 est une solution paire et non nulle de l'équation homogène H . La question 2.c. montre alors que a est impaire. De plus
h = y 1 0
impaire |{z}
+ a
impaire |{z}
y 1
|{z} paire
⇒ h impaire .
c. Par dénition de l'opérateur ∗ et la formule de dérivation d'une fonction composée z 0 + az = h ⇔ −z ∗0 + a ∗ z ∗ = h ∗
d. Si a et h sont impaires, l'équivalence de la question précédente permet d'écrire z 0 + az = h ⇔ −z ∗0 − az ∗ = −h ⇒ (z − z ∗ ) 0 + a(z − z ∗ ) = 0
donc z − z ∗ est une solution impaire d'une équation homogène. C'est donc la fonction nulle ce qui signie que z est paire.
e. Supposons a impaire. D'après 2.d. toutes les solutions de H sont paires. Soit y 0
une d'entre elle (non nulle donc elle ne s'annule pas). D'après la méthode de variation de la constante, il existe une solution de E de la forme λy 0 où λ est une primitive de y h
0. Si h est supposée impaire alors y h
0est impaire donc λ 0 est impaire donc λ est paire. Le produit λy 0 (solution de E est donc pair. Comme toutes les solutions de l'équation homogène sont paires, toutes celles de E le sont également.
4. Dans cette question, a et h sont des fonctions continues de R dans C. L'équation diérentielle en jeu est
(E) y 0 + ay = h
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Rémy Nicolai Aeqd20MPSI B 29 juin 2019
a. On suppose a impaire et b paire. Comme y ∗0 (x) = −y 0 (−x) et y ∗00 (x) = y 00 (−x) , on obtient
y 00 (−x) + a(−x)y 0 (−x) + b(−x) = 0 ⇔ y ∗00 (x) − a(−x)y ∗0 (x) + b(−x)y ∗ (x) = 0
⇔ y ∗00 (x) + a(x)y ∗0 (x) + b(x)y ∗ (x) = 0 Autrement dit y ∗ est solution de la même équation diérentielle.
Par linéarité, la partie paire 1 2 (y + y ∗ ) et la partie impaire 1 2 (y − y ∗ ) de y sont aussi solutions de H 2 .
b. Par dénition du déterminant :
W = y 1 0 y 2 − y 2 0 y 1 ⇒ W 0 = y 1 00 y 2 − y 2 y 00 1 = −y 1 (ay 2 0 + by 2 ) + y 2 (ay 1 0 + by 1 )
= a (−y 1 y 2 0 + y 2 y 1 0 ) = aW L'équation demandée est donc W 0 − aW = 0 .
Comme W est solution d'une équation diérentielle linéaire homogène du premier ordre, s'il n'est pas identiquement nul, il ne s'annule pas.
c. Ici (y 1 , y 2 ) est un couple de solutions pour lequel le wronskien W ne s'annule pas.
Considérons, pour chaque x réel, les relations en x comme un système linéaire de deux équations aux inconnues a et b .
( y 1 0 (x)a(x) + y 1 (x)b(x) =−y 1 00 (x) y 2 0 (x)a(x) + y 2 (x)b(x) =−y 2 00 (x)
Comme W (x) 6= 0 , il s'agit d'un système de Cramer ce qui permet d'utiliser les formules de Cramer pour exprimer a et b
a = W a
W avec W a =
−y 1 00 y 1
−y 2 00 y 2
, b = W b
W avec W b =
y 1 0 −y 00 1 y 2 0 −y 00 2
Ces relations permettent de déduire les parités de a et b de celles de y 1 et y 2 .
y 1 y 2 W W a W b a b
paire paire impaire paire impaire impaire paire impaire impaire impaire paire impaire impaire paire paire impaire paire impaire paire impaire paire impaire paire paire impaire paire impaire paire On en déduit que dans tous les cas, a est impaire et b est paire.
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