L A FONCTION EXPONENTIELLE

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L A FONCTION EXPONENTIELLE

L A FONCTION EXPONENTIELLE

1 D

Il existe une unique fonctionf dérivable surRtelle que : pour tout réel x,f⁰(x) =f(x) etf(0) = 1 Théorème 1.

On admet l'existence d'une telle fonctionf. En revanche, on démontre l'unicité.

Indication :

1. Soitϕla fonction dénie surRparϕ(x) =f(x)×f(−x). a. Dériverϕ.

b. En déduire que la fonctionϕest constante. Donner la valeur de cette constante.

c. Prouver alors que pour tout réelx,f(x)6= 0.

2. Supposons qu'il existe une autre fonctiongdérivable surRvériantg⁰(x) =g(x) pour tout réelxet g(0) = 1.

Soitψ la fonction dénie surRparψ(x) = g(x) f(x). a. Dériverψ.

b. En déduire que la fonctionψest constante. Donner la valeur de cette constante.

c. Conclure.

Preuve

La fonction f dérivable sur R telle quef⁰ =f et f(0) = 1 est appelée fonction expo- nentielle.

On la note exp. Dénition 2.

LYCÉEBLAISEPASCAL

1

M.LUITAUD

1.2 Propriétés

1. Pour tout x∈R,exp(x)×exp(−x) = 1 2. Pour tout x∈R,exp(x)6= 0

Propriété 3.

1. Évident car c'est la fonctionϕde la démonstration précédente.

2. Déjà prouvé dans la question 1.c. de la démonstration précédente.

Preuve

Pour tout x, y∈R, on a :

exp(x+y) = exp(x)×exp(y) Propriété 4 (Relation fonctionnelle).

Indication : Soity un réel quelconque que l'on xe. Soit Φla fonction de la variable xdénie sur Rpar Φ(x) =exp(x+y)

exp(x) .

1. Démontrer queΦest dérivable sur Rpuis calculer sa dérivée Φ⁰.

2. En déduire que la fonctionΦest constante. Donner la valeur de cette constante.

Preuve

Pour tout x, y∈R, on a :

exp(x−y) = exp(x) exp(y) Propriété 5.

Indication :exp(x−y) = exp(x+ (−y)) Preuve

Pour tout x∈R etn∈Z, on a :

exp(nx) = exp(x)ⁿ Propriété 6.

À faire à l'aide d'un raisonnement par récurrence pourn∈N.

Soitnun entier négatif.

Posonsn=−m.mest donc un entier naturel.

Preuve

Pour tout réelxon a alors :

(exp(nx) = exp(−mx) = 1

exp(mx) = 1

exp^m(x) = exp^−m(x) = expⁿ(x)

Pour tout x∈R, on aexp(x)>0. Propriété 7.

Indication : Écrireexp(x)sous la forme d'un carré en utilisant les propriétés précédentes.

Preuve

2 L

e

En 1728, le mathématicien suisse Euler introduit la notation e¹ (nombre d'Euler) pourexp(1). La relation précédente devient alors : pour tout n∈Z,exp(n) =eⁿ.

On étend cette relation à tout réel :

pour tout x∈R,exp(x) =e^x. Théorème 8.

Les propriétés de l'exponentielle s'écrivent alors :

e⁰= 1

Pour toutx∈R,(e^x)⁰ =e^x

Pour tout x∈R,e^x×e^−x= 1 soit e^−x = 1 e^x Pour tout x∈R,e^x >0

Pour tout a,b∈R,e^a+b=e^a×e^b ete^a−b = e^a e^b Pour tout x∈R,n∈Z,(e^x)ⁿ=e^nx

Pour tout x∈R,√

e^x=e^12x Propriété 9.

1. Le nombreefait l'objet de nombreux hommages dans le milieu informatique.

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chire rond comme c'est généralement le cas, mais 2 718 281 828$, soitemilliards de dollars (au dollar près). Google est aussi à l'origine d'une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant rst 10-digit prime found in the consecutive digits ofe.com (premier nombre premier à 10 chires trouvé dans les décimales successives dee.com) achés dans un premier temps dans la Silicon Valley, puis à Cambridge, Seattle et Austin incitaient les curieux à se rendre sur le site aujourd'hui disparu 7427466391.com. Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus dicile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CV. Le premier nombre premier à dix chires dans les décimales deeest 7 427 466 391, qui commence à la 99 ème décimale.

L'informaticien Donald Knuth a numéroté les diérentes versions de son programme Metafont d'après les décimales de e : 2, 2,7, 2,71, 2,718, et ainsi de suite. De la même façon, les numéros de versions de son programme TeX approximente.

Exercice 1

1. Simplier(e^x+e^−x)²−(e^x−e^−x)². 2. Calculer e²√

e e⁻³ . Exercice 2

Factoriser les expressions suivantes : 1. A(x) =e^2x−e^x

2. B(x) =e^2x−1

3. C(x) = 4e^2x+ 4e^x+ 1

Exercice 3

Montrer que pour tout réelx6= 0, on a :

e^x+e^−x

e^x−e^−x = e^2x+ 1 e^2x−1

3 É

Pour tout x∈R,(e^x)⁰ =e^x

Et pour toute fonction u dérivable sur un intervalleI, la fonction e^u est dérivable sur I et(e^u)⁰ =u⁰e^u

Propriété 10.

Exercice 4

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes (préciser leur domaine de dérivabilité) : 1. f(x) = (2x−1)e^x

2. f(x) =e^2x2−3x+4 3. f(x) = e^x

x−1

4. f(x) =e^x1

5. f(x) = (3−2x)e^2x 6. f(x) = e^3x−1

e^3x+ 1

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Propriété 11.

À faire.

Preuve

Pour tout a,b∈R,

e^a=e^b ⇔a=b e^a> e^b ⇔a > b e^a>e^b ⇔a>b Propriété 12.

Ce sont des conséquences du fait que la fonction exponentielle est strictement croissante surR.

Preuve

Exercice 5

Résoudre dans Rles équations et inéquations suivantes : 1. e^2x+1 = 1

2. e^x2 =e^5x−4 3. 4e^2x−e^x−3 = 0

4. e^3x >1 5. e^x2 < e² 6. e^x2−x > e

3.2 Limites

e^x peut-il dépasser n'importe quel nombreA >0 aussi grand soit-il ?

Étant donné que la fonction exp est strictement croissante sur R, si l'on trouve un nombre x tel que e^x > A alors toutes les images des nombres supérieurs à x par la fonction exp seront supérieures à A.

Recopier l'algorithme suivant sous algobox puis compléter le tableau ci dessous :

1 VARIABLES

2 A EST_DU_TYPE NOMBRE 3 x EST_DU_TYPE NOMBRE 4 DEBUT_ALGORITHME

5 LIRE A

6 AFFICHER "Est-ce que la fonction exponentielle peut dépasser "

7 AFFICHER A 8 AFFICHER " ?"

9 TANT_QUE (exp(x)<=A) FAIRE 10 DEBUT_TANT_QUE

11 x PREND_LA_VALEUR x+1 12 FIN_TANT_QUE

13 AFFICHER "Il suffit que x dépasse la valeur "

14 AFFICHER x 15 AFFICHER "."

16 FIN_ALGORITHME

Algorithme

SiA=. . . 100 10000 10⁶ 10⁸ 10¹⁰ 10¹² Alors il sut quex>. . .

Et maintenant soyons plus rigoureux pour conrmer notre impression.

Pour tout réel x,e^x> x. Lemme 13.

À faire.

Indication : Étudier la fonctionf dénie surRparf(x) =e^x−x.

Preuve

e^x peut donc dépasser n'importe quel nombre A >0aussi grand soit-il.

En eet, pour quee^xdépasseA, il sut quexdépasseA. On traduit cela par la propriété :

La fonction exponentielle a pour limite +∞ en+∞.

x→+∞lim e^x = +∞

Notation Propriété 14.

À seulement 25 cm en abscisse,exp(x)a déjà dépassé la distance terre-lune (environ 384400 km).

La fonction exponentielle a pour limite 0 en−∞.

x→−∞lim e^x = 0 Notation Propriété 15.

À faire.

Indication : On poseX=−xet on utilise la limite précédente.

Preuve

On dit que l'axe des abscisses est asymptote horizontale en−∞ à la courbe de la fonction exponentielle.

3.3 Tableau de variation et courbe représentative

D'après les paragraphes précédents, le tableau de variation de la fonction expest le suivant : x

Signe de exp⁰

Variation de exp

−∞ +∞

+

0 0

+∞

+∞

0

1

1

e

Exercice 6

Démontrer que l'équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d'abs- cisse 0 est y=x+ 1.

La courbe de la fonction expest la suivante :

x y

Cexp y=x+ 1

0 1

1 e

Exercice 7

Étudier les variations des fonctions suivantes : 1. f(x) =x²e^−2x

2. g(x) = e^x+1 x+ 1 3. h(x) =e^2x−2e^x

4. i(x) = 2x−3 e^x 5. j(x) = x³+ 2x²

e^x 2

Exercice 8

Soit f la fonction dénie sur Rparf(x) =x²e^−x.

Soit C_f la courbe représentative def dans un repère (O;~ı , ~).

La courbe C_f admet-elle des tangentes passant par l'origine O du repère ?

4 D

Soit f_k la fonction dénie sur Rparf_k(x) =e^−kx où kest un réel strictement positif.

Pour tout réel k >0, le tableau de variation de f_k est :

x Signe def_k⁰

Variation def_k

−∞ +∞

− +∞

+∞

00 0

1 Proposition 16.

Laissée en exercice.

Preuve

Les courbes des fonctions f_k sont :

Un clic sur l'image et c'est magique !

Exercice 9

En été, un cyclotouriste mesure une pression atmosphérique de 909 hPa (hPa = hectopascal) au sommet d'un col.

On considère qu'à une température constanteT, en degré Kelvin, pour des altitudes z pas trop grandes, la pression P(z)est donnée en fonction de l'altitude z, en mètres, par :

P(z) =P(0)e^{−M gzRT}

x y

y=e^−0.25x y=e^−x y=e^−2x y=e^−3x

0 1

1

oùP(0) = 1013hPa est la pression au niveau de la mer,M = 28,97.10⁻³ kg.mol⁻¹,R = 8,31 J.mol⁻¹.K⁻¹. On prendra g= 9,81m.s⁻¹ etT = 293K.

1. Comment varie la pression en fonction de l'altitude z? Justier.

2. Estimer au mètre près l'altitude de ce col. (On pourra utiliser e^−0,1083 ≈ 909 1013.)

4.2 Les fonctions g_k :x 7−→ e^−kx2

Soit gk la fonction dénie surR pargk(x) =e^−kx2 oùk est un réel strictement positif.

Pour tout réel k >0, le tableau de variation de gk est :

x Signe de g⁰_k

Variation de g_k

−∞ 0 +∞

+ 0 −

00

11

00 Proposition 17.

Laissée en exercice.

Preuve

Un clic sur l'image et c'est magique !

Les courbes de telles fonctions sont dites des courbes en cloche ou des courbes de Gauss .

Nous verrons leur utilité dans les probabilités.

x y

y=e^−0.25x2 y=e^−x2 y=e^−3x2 y=e^−6x2

0 1

1

Exercice 10

Dans cet exercice, on va mettre en évidence quelques propriétés des courbes de Gauss.

Dans tout l'exercice h etkdésigne deux réels strictement positifs.

1. a. Prouver que pour tout réel x, on ag_k(−x) =g_k(x). (g_k est dite paire.)

b. Quelle propriété vient-on de prouver ? 2. Démontrer que, sur R, on a :

h6k⇐⇒gh>gk

3. a. Déterminer g⁰⁰_k en fonction de k. b. Résoudre g⁰⁰_k(x) = 0.

c. Pour k= 1 2.

i. Quelle est la solutionα de l'équation g_k⁰⁰(x) = 0? ii. Déterminer l'équation de la tangente∆à la courbeC¹

2 de la fonctiong¹

2 au point d'abscisseα.

iii. Tracer dans un repèreC1 2 et∆. On constate que la courbeC¹

2 traverse la tangente ∆au point d'abscisse α. On dit que ce point est un point d'inexion.

d. On admet que toutes les courbes de Gauss possèdent deux points d'inexion dont les abscisses sont les solutions de l'équationg_k⁰⁰(x) = 0.

Prouver que tous ces points sont sur la droite d'équation y= 1

√e.

Exercice 11

Ci-dessous est représentée une courbe de Gauss.

On admet que l'aire délimité par la courbe et l'axe des abscisses vaut 1.

0 u

Pi

−∞;ui

On note P

−∞;u

l'aire colorée et on admet qu'elle vaut 0,7.

Donner :

P

u; +∞

; P 0 ;u

; P

−u; +∞

; P

−u;u