DEVOIR A LA MAISON N°8 2

DEVOIR A LA MAISON N°8 2

^nde

7.

Pour le mardi 7 mars 2017.

Pour ce DM, vous devez reprendre tous les cours depuis le début de l année. Il ne présente pas de difficulté particulière mais porte sur tous les chapitres déjà traités.

I. On se place dans un repère orthonormal.

On donne A( 1 1), B(2 1), C(0 4), D( 3 2) et E (4 6).

1. En utilisant les diagonales, montrer que ABCD est un parallélogramme.

2. En utilisant les vecteurs, montrer que ABCD est un parallélogramme.

3. Calculer les longueurs AC et BD. Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABCD ? 4. Les points A,B et E sont-ils alignés ? Justifier.

II. Les toupies sont les derniers jouets à la mode chez les 4 - 8 ans. Un fabriquant de toupies a fait une enquête auprès de 30 enfants pour savoir combien ils avaient de toupies chez eux. Il a obtenu les résultats suivants :

Nombres de toupies 0 1 2 3 4 5

Effectifs 3 4 8 5 3 5

Effectifs cumulés croissants

Toutes les questions portent sur ces données.

Pour chaque réponse, on pensera à détailler les calculs.

1. Calculer la moyenne de cette série statistique.

2. Compléter la ligne des effectifs cumulés croissants.

3. Calculer la fréquence des enfants ayant 3 toupies ou moins.

4. Calculer la médiane de cette série statistique.

5. Calculer le premier et le troisième quartile de cette série statistique.

6. Construire le diagramme en boîte de la série statistique.

7. Un autre fabriquant a interrogé un autre groupe d enfants. Voici les résultats qu il a obtenus : Min 0, Q

1

3, Me 4, Q

3

5 et Max 7.

Vrai ou faux? Jus tif ier :

a. Envi ron l a m oiti é des enfant s du groupe ont ent re 3 et 5 toupi es.

b. Envi ron l e quart des enfants du groupe ont plus de 3 toupi es.

III. f est la fonction définie sur par f (x ) x² 3.

1. Calculer l image de 2 par f.

2. Déterminer s il y en a les antécédents par f de 5.

3. Le point A(2 6) est-il un point de la courbe de f ? IV. On donne au dos les courbes de deux fonctions f et g.

1. Construire le tableau de variations de la fonction f.

2. Déterminer graphiquement l image de 0 par f.

3. Déterminer graphiquement l image de 2 par f.

4. Déterminer graphiquement le ou les antécédents de 1 par f.

5. Déterminer l expression algébrique de g( x).

6. Résoudre graphiquement f (x) g( x).

7. Résoudre graphiquement f (x) g (x ).

8. h est la fonction affine telle que h (0) 2 et h( 4) 3.

a. Déterminer l expression algébrique de h (x ).

b. Tracer la représentation graphique de h sur le graphique au dos de la feuille.

9. Résoudre par le calcul g( x) h ( x). Comment retrouver ce résultat sur le graphique.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°8. 2de7

I.

1. Soit I le milieu de [AC ]. I

 

 

1 0

2

1 4

2

, c'est-à-dire I

 

 

1 2

3 2

. Soit J le milieu de [BD ]. J

 

 

2 3

2

1 2

2

, c'est-à-dire J

 

 

1 2

3 2

.

I et J sont confondus donc [ AC ] et [BD ] ont le même milieu. ABCD est donc un parallélogramme.

2. AB  

 

2 ( 1)

1 ( 1)

donc AB  

 

3 2

DC  

 

0 ( 3)

4 2

donc DC  

 

3 2

AB DC donc ABCD est un parallélogramme.

3. AC (0 ( 1))

²

(4 ( 1))

²

26 et BD ( 3 2)

²

(2 1)

²

26 .

Les diagonales [ AC ] et [BD ] du parallélogramme ABC D ont la même longueur donc ABC D est un rectangle.

4. AB  

 

3

2

et AE  

 

5 7

.

3 7 21 et 2 5 10. 21 ≠ 10 : les vecteurs AB et AE ne sont pas colinéaires donc les points A, B et E ne sont pas alignés.

II.

1. x 3 0 4 1 8 2 5 3 3 4 5 5

28

18

7 . La moyenne de cette série est 18

7 , c est à dire environ 2,57.

2.

Nombres de toupies 0 1 2 3 4 5

Effectifs 3 4 8 5 3 5

Effectifs cumulés croissants 3 7 15 20 23 28

3. 20 enfants possèdent 3 toupies ou moins donc la fréquence des enfants ayant 3 toupies ou moins est 20

28 5 7 . 4. L effectif est 28.

28

2 14 donc la médiane est entre la 14

^ème

et la 15

^ème

valeur, soit entre 2 et 2 : M e 2.

5. 28

4 7 donc Q

1

est la 7

^ème

valeur : Q

1

1.

3 28

4 21 donc Q

3

est la 21

^ème

valeur : Q

3

4.

6.

7.

a. Vrai car l intervalle interquartile [3 5] contient au moins la moitié des valeurs de la série.

b. Faux : les trois quarts des enfants ont plus de 3 toupies car Q

1

3.

III.

1. f( 2) ( 2)² 3 7. L image de 2 par f est 7.

2. f( x) 5  x² 3 5  x ² 2  x 2 ou x 2 . Les antécédents par f de 5 sont 2 et 2 .

3. f(2) 2² 3 7 ≠ 6. Le point A (2 6) n est pas un point de la courbe de f.

0 1 2 3 4 5

-2 -1 0 1

x y

IV.

1. Graphiquement, il semble que le tableau de variation de f soit : x 6 1 +

f (x ) 2,8

0,1

2. Graphiquement, il semble que l image de 0 par f soit 0,05.

3. Graphiquement, il semble que l image de 2 par f soit 0,05.

4. Graphiquement, il semble que les antécédents de 1 par f soient 8,8 ; 2 et 3,3.

5. La représentation graphique de g est une droite donc g est une fonction affine.

La droite passe par le point de coordonnées (0 1) donc l ordonnée à l origine est 1.

Graphiquement, l expression algébrique de g (x ) est g( x) 1 4 x 1.

6. Graphiquement f (x ) g( x) a pour solutions 10,2 ; 1,4 et 4.

7. Graphiquement f (x ) g( x) a pour ensemble de solutions : S ] 10,2[ ] 1,4 4[.

8.

a. h est une fonction affine donc h (x ) ax b avec a et b des réels.

a h(0) h( 4) 0 ( 4)

2 3 4

5 4

h(0) 2 donc b 2

L’expression algébrique de h (x ) est h( x) 5 4 x 2.

b. h est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite.

h (0) 2 donc A(0 2) est un point de la représentation graphique de h.

h ( 4 ) 3 donc B( 4 3) est un point de la représentation graphique de h.

9. g( x) h ( x)  1

4 x 1 5

4 x 2  1 4 x 5

4 x 2 1  6

4 x 3  x 3 4

6 2

g(x ) h (x ) a pour unique solution 2.

Graphiquement, les droites représentatives de g et de h se coupent au point C d abscisse 2.