DEVOIR A LA MAISON N°10 2

DEVOIR A LA MAISON N°10 2 ^nde 7.

Pour le mercredi 3 mai 2017.

I. Pour tous les élèves.

Un artisan fabrique des vases qu’il met en vente. On suppose que tous les vases fabriqués sont vendus.

L’artisan veut faire une étude sur la production d’un nombre de vases compris entre 0 et 60.

Il estime que le coût C (x ) de production de vases (avec x compris entre 0 et 60) est donné par C (x) x² 10x 500. Par ailleurs, chaque vase est vendu 50 euros.

1. On note R( x) la recette en euros réalisée pour la vente de x vases et B( x) le bénéfice, en euros, réalisé pour la production et la vente de x vases.

a. Déterminer le coût de production, la recette puis le bénéfice obtenu pour la vente de 40 vases.

b. Exprimer R( x) en fonction de x.

c. Quelle est la nature de la fonction R ? Quelle est sa représentation graphique ? d. Justifier que B (x ) x ² 60x 500.

Vous pouvez utiliser le résultat de la question 2c pour la suite, même si vous ne l avez pas démontré.

2.

a. Montrer que, pour tout x de [0 60], B( x) (10 x)( x 50).

b. Construire le tableau de signes de la fonction B sur [0 60].

c. En déduire combien de vases doit fabriquer et vendre l artisan pour obtenir un bénéfice positif.

3.

a. Quelle est la nature de la fonction B ? Comment s appelle sa courbe ?

b. A l aide du cours, construire le tableau de variation de la fonction B sur [0 60]. Justifier.

c. En déduire le nombre de vases que doit fabriquer et vendre l artisan pour que le bénéfice soit maximal.

II. Pour les élèves ne souhaitant pas aller en 1ère S.

Développer les expressions suivantes :

A( x) (2 x 3)( 4 x 2) B( x) = (4x + 1)²

C (x) = (2 x + 3)(2 x − 3) D( x) = ( x + 1)(3 x + 5 ) − (2 x + 3)( x + 1) III. Pour les élèves souhaitant aller en 1ère S.

On souhaite construire la plus grande salle rectangulaire possible dans l angle droit d un terrain triangulaire (voir figure). On considère que l unité est le décamètre et que AB 4 et AC 6.

On pose x AD.

1. Montrer que l aire de la salle est donnée par A (x ) 3

2 x

6x . 2. Quelles doivent être, en mètres, les dimensions de la salle pour que celle-ci soit le plus grande possible ?

IV. Pour les élèves souhaitant aller en 1ère S.

Résoudre :

1. (2x 4)( x 1) (7 x 5)( x 1) 0

2. (x 3)(2 x 1) (x 3)(x 1 )

3. (x 2)² (2 x 5)².

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°10. 2de7

I.

1.

a. Pour 40 vases :

C(40) 40² 10 40 500 1700. Le coût de production est 1 700€.

40 50=2 000. La recette est 2 000€

2000 1700 300. Le bénéfice est alors 300€.

b. R (x ) 50 x.

c. La fonction R est une fonction affine et linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l origine du repère.

d. B (x ) R( x) C (x ) 50 x ( x² 10 x 500) 50x x ² 10x 500 x² 60x 500.

2.

a. (10 x)( x 50) 10 x x ² 500 50x x ² 60x 500 B( x).

Ainsi, pour tout x compris entre 0 et 60, B (x ) (10 x)( x 50).

b. On a le tableau suivant :

x 0 10 50 60 10 x

x 50 B(x)

c. L artisan doit fabriquer et vendre entre 10 et 50 vases pour obtenir un bénéfice positif.

3.

a. La fonction B est une fonction polynôme de degré 2. Sa courbe est une parabole.

b. a 1 0 donc la fonction est croissante puis décroissante.

b 2a

60

2 ( 1 ) 30 et B( ) 30² 60 30 500 400.

On a donc le tableau de variations :

x 0 30 60

B (x ) 400

500 500

c. L artisan doit fabriquer et vendre 30 vases pour obtenir un bénéfice maximal de 400€.

II. A(x ) (2x 3)( 4x 2) = −8x ² 4x −12x 6 −8 x²−8x 6 B( x) = (4x + 1)² = (4 x)² 2 4x 1 1² 16x ² 8x 1

C (x) = (2 x + 3)(2 x − 3) = (2x )²−3² = 4 x² 9.

D( x) = ( x + 1)(3 x + 5 ) − (2x + 3)( x + 1) = (3 x² 3x 5x 5) (2x² 3x 2 x 3)

= 3x ² 8x 5 2x² 5x 3

= x² 3x 2 III.

1. D après le th de Thalès : BD BA

DE

AC , c'est-à-dire 4 x 4

DE

6 et donc DE 6(4 x)

4

3(4 x) 2

2. L aire de la salle est A (x) x 3(4 x )

2 = x(12 3 x)

2 = 12x 3 x²

2 = 6x 3

2 x² = 3

2 x² 6x 3. La fonction A est une fonction polynôme de degré 2 avec le coefficient de x² égal à 3/2 < 0 donc A est croissante puis décroissante. On a le tableau de variation suivant :

x 2 + b/2a = 6/(2 ( 3/2)) = 2 f(2) = 3

2 2² 6 2 = 6

f(x) 6

L’aire est maximale lorsque AD 2. On a alors DE 3(4−2)

2 3.

L unité étant le dam, la salle est la plus grande possible lorsque ses dimensions sont 20m sur 30m.

IV.

1. (2x 4)( x 1) (7 x 5)( x 1) 0 ( x 1)(2x 4 7x 5) 0 ( x 1)( 5 x 1) 0 x 1 1/5 +

x 1 x 1/5

S ] ; 1[ U 1/5 ; + [

x 1 +

5 x 1 (x+1)(-5 x −1)

2. (x 3)(2 x 1) (x 3)(x 1 ) ( x 3)(2 x 1 x 1) 0 ( x 3) x 0 x 3 0 +

x 3 x 0 S ]− 3 ; 0[

x 3 +

x (x+3)5 x

3. (x 2)² (2 x 5)² ( x 2)² (2 x 5)² 0  [(x 2) (2x 5)][( x 2 ) (2 x 5)] 0  ( x 7)(3 x 3) 0

x 1 7 + x 7 x 1 S ]1 7[.

x 7

3x 3

(− x+7)(3 x−3)