DEVOIR A LA MAISON N°7 2

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°7 2

^nde

6.

Pour le lundi 15 janvier 2018.

SUJET B

I. Dans un repère, on considère les points A ( 2 3), B(0 7) ; C (5 x 1) et D (x 5) avec x un réel.

Calculer x pour que ABDC soit un trapèze de base [AC ].

II. Soit f la fonction définie sur par f (x ) ‒2x² 16 x 20.

1. Tracer la courbe de la fonction f à la calculatrice. Quel semble être le maximum de f ? Pour quelle valeur de x ?

2. Montrer que pour tout x de , f( x) ‒2(x ‒ 4)² 52.

3. Démontrer alors vos conjectures de la question 1.

III. Vous-vous êtes demandé pourquoi la hauteur d'une casserole est approximativement égale à son rayon quelle que soit sa contenance ?

On suppose que le prix de revient du manche d’une casserole ne dépend pas des dimensions de la casserole et que celle-ci est cylindrique. L'unité est le décimètre.

1. Dans cette question, on considère une casserole de volume 2 litres.

a. On note h la hauteur de la casserole et x son rayon. Montrer que h 2 x²

b. Tracer à main levée un patron de la casserole, sans le manche. Justifier que l’aire de métal utilisée est S( x) x² 4

x

c. Tracer à la calculatrice la courbe de la fonction S. Quel semble être son minimum ? Pour quelle valeur de x ? Quelle est la valeur de h correspondante ?

2. On note maintenant V le volume de la casserole, h sa hauteur et x son rayon.

a. Montrer que l’aire de métal utilisé est S( x) x² 2V x .

b. A la calculatrice, tracer la courbe de S pour plusieurs valeurs de V et noter à chaque fois la

valeur de x pour laquelle S (x ) est minimal et la valeur de h correspondante. Que remarque-t-on ?

c. Répondre alors à la question posée en gras au début de l’exercice.

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°7 2

^nde

6. SUJET B

I. ABDC est un trapèze de base [ AC ] ssi (AC) // (DB)

ssi AC et DB sont colinéaires. AC



 7 x

4

et DB



 x 2

ssi (7 x)2 4x

ssi x 7

3 II. Soit f la fonction définie sur par f (x ) ‒2x² 16 x 20.

1. Le maximum de f semble être 52, pour x 4.

2. Soit x un réel.

2(x 4)

²

52 2(x ² 8x 16) 52 2 x² 16x 32 52 2x ² 16x 20 f( x).

Ainsi, pour tout x de , f(x ) ‒2( x‒ 4)² 52.

3. Pour tout x de , (x 4)

²

donc 52 2( x 4)

²

52, c'est-à-dire f (x ) 52.

D’autre part, f(4) 2(4 x)

²

52 52.

Alors, le maximum de f est 52, atteint pour x 4.

En déduire la valeur de x pour laquelle le maximum de f est atteint. Préciser ce maximum.

III. 1. Dans cette question, on considère une casserole de volume 2 litres.

a. 2 litres 2 dm

³

.

On a Volume aire de la base hauteur, c'est-à-dire 2 x ²h et donc h 2 x ²

b. Aperçu du patron de la casserole : Aire du disque (fond de la casserole) : x ².

Aire du rectangle (paroi de la casserole) : 2 x h 2 x 2 x²

4 x L’aire de métal utilisée est donc S( x) x ² 4

x

c. Le minimum de S semble être environ 6,97 pour x 0,86 et h 2

0,86² , c'est-à-dire h 0,86.

2. On note maintenant V le volume de la casserole, h sa hauteur et x son rayon.

a. La hauteur de la casserole est h V x² L’aire du fond de la casserole est x ²

L’aire de la paroi de la casserole est 2 xh 2 x V x²

2 V x L’aire de métal utilisé est donc S( x) x ² 2 V

x .

b. Quelle que soit la valeur de V choisie, l’aire est minimale lorsque h x.

c. Pour réduire les coûts de fabrication, on chercher à utiliser le moins de métal possible. On

cherche donc à obtenir une aire minimale. C’est pourquoi on choisit la valeur x du rayon pour

laquelle l’aire de métal est minimale. D’après ce qui précède, il semble que la hauteur de la

casserole est alors à peu près (en fait exactement) égale à son rayon.