DEVOIR A LA MAISON N°7. TS3.
Pour le mercredi 19 novembre 2014
I. Sans déterminer les valeurs exactes de cos π
7 et sin π
7 , calculer : E = cos(
7)+cos(− 7) cos
8
7 cos
6
7 cos
5
14 sin
7 sin
−
7 cos
9
14 . Détailler les calculs.
II. ABCD est un carré et AED est un triangle équilatéral à l intérieur du carré. H est le pied de la hauteur issue de E dans le triangle CBE et donc le milieu de [BC].
1. Donner sans justifier une mesure en radians des angles orientés suivants :
a.
(
AE AD)
b.
(
AD AB)
c.
(
DE DC)
2. En utilisant la relation de Chasles, donner une mesure de l angle
(
EA CD)
. En déduire deux mesures de l angle(
AE CD)
.III. A savoir refaire.
Soit f la fonction définie sur par f(x) =
x4 5x3 + 12x² + 2x + 1
1. Déterminer la dérivée f ’ de f puis la dérivée f ’’ de f (c’est à dire la dérivée de f ’).
2. Déterminer les variations de f ’ après avoir étudié le signe de f ’’.
3. En déduire, en justifiant, que cette fonction f ’ s’annule en trois réels a, b et c dont on donnera un encadrement à 102 près.
4. Donner alors le tableau de signes de f ′(x) (utiliser a, b et c).
5. Etudier les variations de f et montrer que l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions et dont on donnera une valeur approchée à 102 près. On admettra que f(a) > 0.
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°7. TS3
I. On utilise les formules suivantes : Pour tout réel x :
cos( x) cos(x) ; sin( x) sin(x) ; cos( x) cos(x) ; sin( x) sin(x) cos( x) cos(x) ; sin( x) sin(x) ; cos
2 x sin(x) ; sin
2 x sin(x) cos
2 x sin(x) ; sin
2 x cos (x).
E = cos(
7)+cos(− 7) cos
8
7 cos
6
7 cos
5
14 sin
7 sin
−
7 cos
9
14 E = cos
7 cos
7 cos
7 cos
7 cos
2 −
7 sin
7 sin
7 cos
2 7
E = cos
7 cos
7 cos
7 −cos
7 sin
7 sin
7 sin
7 sin
7 E = 0
II. ABCD est un carré et AED est un triangle équilatéral à l intérieur du carré. H est le pied de la hauteur issue de E dans le triangle CBE et donc le milieu de [BC].
1.
a.
(
AE AD)
= /3.b.
(
AD AB)
= /2.c.
(
DE DC)
= /2 /3 = /6.2.
(
EA CD)
=(
EA AD) (
AD CD)
=(
AE AD)
DA DC=
3 2 = 11
6 = 2
6.
(
EA CD)
a pour mesure 6.(
AE CD)
=(
EA CD)
=6 = 5
6
(
AE CD)
a pour mesure 56 . Une autre mesure de
(
AE CD)
est 56 + 2 = 17 6 .
III. A savoir refaire pour le DS et pour le bac.
1. f est dérivable sur avec pour tout x de : f ’(x) = 2x315x² + 24x + 2.
f ’ est dérivable sur avec pour tout x de : f ’’(x) = 6x² 30x + 24 = 6(x² 5x + 4).
2. Signe de f ’’(x) : = 9 donc f ’’(x) a deux racines : 1 et 4 et est positif sauf entre ces racines.
On a donc le tableau de variation :
x 1 4 +
f ’’(x) + +
f ’(x) 13 + 14
li m
x
f ’(x) lim
x
2x3 et lim
x
f ’(x) lim
x
2x3
3. Sur ] ; 1], la fonction f ’ est strictement croissante et continue avec li m
x
f ’(x) et f ’(1) = 13 donc l’équation f ’(x) = 0 admet une unique solution a dans ] ; 1].
Sur [1 ; 4], la fonction f ’ est strictement décroissante et continue avec f ’(1) = 13 > 0 et f ’(4) = 14 < 0 donc l’équation f ’(x) = 0 admet une unique solution b dans [1 ; 4].
Sur [4 ; + [, la fonction f ’ est strictement croissante et continue avec f ’(4) = 14 et
lim
x
f ’(x) = + donc l’équation f ’(x) = 0 admet une unique solution c dans [4 ; + [.
Ainsi l’équation f ’(x) = 0 admet exactement 3 solutions a, b et c dans . La calculatrice donne : 0,08 < a < 0,07 ; 2,46 < b < 2,47 et 5,11 < c < 5,12.
4. On a alors le tableau de signes suivant :
x a b c +
f ’(x) + +
5. Le tableau de variation de f est alors :
x a b c + f(x) + f(b) > 0+
f(a) > 0 f(c) < 0 Le calcul des limites se fait comme le calcul des limites de f .
f(b) > f(2,46) 22,415 > 0 et f(c) < f(5,11) 1,678 < 0.
Sur ] ; b], f(x) f(a) > 0 donc l’équation f(x) = 0 n’admet pas de solution dans ] ; b].
Sur [b ; c], la fonction f est strictement décroissante et continue avec f(b) > 0 et f(c) < 0 donc l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [b ; c].
Sur [c ; + [, la fonction f ’ est strictement croissante et continue avec f (c) < 0 et lim
x
f(x) = + donc l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [c ; + [.
Ainsi l’équation f(x) = 0 admet exactement 2 solutions et dans . La calculatrice donne : 4,74 < < 4,75 et 5,44 < < 5,45.
