() DEVOIR A LA MAISON N°8. TS3.

DEVOIR A LA MAISON N°8. TS3.

Pour le mercredi 26 novembre 2014

I. Une compagnie d assurance analyse les contrats souscrits par ses clients. Voici les résultats :

 72% ont souscrit une assurance habitation.

 54% ont souscrit une assurance auto.

 30% ont souscrit une assurance vie.

 7% ont souscrit lest 3 types d assurance.

 25% ont souscrit exactement une assurance auto et une assurance habitation.

 31% ont souscrit uniquement une assurance habitation.

 14% ont souscrit uniquement une assurance auto.

Tous les clients ont souscrit au moins une assurance auto, habitation ou vie.

On choisit un assuré au hasard.

On note H l événement : "le client choisi a souscrit une assurance habitation"

On note V l événement : "le client choisi a souscrit une assurance vie"

On note A l événement : "le client choisi a souscrit une assurance auto"

1. Lire et comprendre la correction de l exercice II du Devoir à la maison n°7. Utiliser si nécessaire le cours de première.

2. On choisit un assuré au hasard.

On note H l événement : "le client choisi a souscrit une assurance habitation"

On note V l événement : "le client choisi a souscrit une assurance vie"

On note A l événement : "le client choisi a souscrit une assurance auto"

a. Exprimer les pourcentages de l énoncé sous forme de probabilité en utilisant les événements H ,V et A.

b. Calculer P (A H). Interpréter par une phrase.

c. Calculer P (A H). Interpréter par une phrase.

3. L assureur envoie un courrier à 20 clients choisis au hasard. Le nombre de clients est suffisament important pour qu on puisse assimiler le choix des 20 clients à un tirage avec remise.

Dans cette question, soigner la rédaction.

a. Quelle est la probabilité qu aucun des 20 clients n ait souscrit une assurance vie ? b. Quelle est la probabilité qu au moins un des 20 clients n ait souscrit une assurance vie ? c. Quelle est la probabilité qu exactement 8 des 20 clients aient souscrit une assurance vie ? II. f est la fonction définie sur par f (x ) ( ^2x

^{3 x}

^{12 x 1} )

^.

1. Construire le tableau de variation complet de f, en déterminant les limites en + et . 2. Combien l équation f( x) 0 a-t-elle de solutions dans . Justifier.

3. Déterminer une valeur approchée à 10

près de chacune des solutions éventuelles de l équation f(x ) 0.

III. Un peu plus dur.

f est une fonction continue sur . On suppose qu’il existe des réels a et b dans ]0 ; 1[ tels que f(a ) = 0 et

f( b) = 1. Montrer que l’équation f (x ) = x admet au moins une solution dans ]0 ; 1[.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°8. TS3

I.

2.

a. 0,72 P (H ) ; 0,54 = P( A) ; 0,3 P( V) ; 0,07 = P( A V H) 0,25 = P A H V ; 0,31 = P H V A et 0,14 = P A V H .

b. P( A H ) P( A H V ) P A H V 0,07 0,25 0,31. 31% des clients ont souscrit au moins une assurance auto et une assurance habitation.

c.

d. P( A H ) P( A) P (H )−P (A H) 0,54 0,72−0,31 0,95. 95% des clients ont souscrit au moins une assurance auto ou une assurance habitation.

3. On répète 20 fois de façon indépendante l expérience aléatoire qui consiste à envoyer une lettre à un client choisi au hasard et à noter si ce client a souscrit une assurance vie. La probabilité qu un client ait souscrit une assurance vie est 0,3. La variable aléatoire X correspondant au nombre de clients ayant souscrit une assurance vie suit la loi binomiale de paramètre 20 et 0,3.

a. P(X=0)=(1 0,3)

0,0008.

La probabilité qu aucun des 20 clients n ait souscrit une assurance vie est environ 0,0008 b. P (X 1) 1 P (X 0) 1 (1 0,3)

0,999

La probabilité qu au moins un des 20 clients n ait souscrit une assurance vie est environ 0,999.

c. P (X 8)

 20

8

0,3

(1 0,3)

0,114

La probabilité qu exactement 8 des 20 clients aient souscrit une assurance vie est environ 0,114 ;

II. f est la fonction définie sur par f (x ) ( ^2x

^{3 x}

^{12 x 1} )

^.

1. f est dérivable sur . Pour tout x de , on a f ( x) 5(6 x² 6x 12) ( ^{2 x}

^{3 x² 12 x 1} )

^.

4 étant pair, ( ^2x

^{3 x² 12 x 1} )

0, quel que soit le réel x.

Signe de 5(6 x² 6x 12) 30(x² x 2) :

= 9 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 et 2 et il est positif (du signe de a 1) sauf entre ces racines.

On a le tableau suivant :

x 1 2 +

5(6x² 6x 12) + +

( ^2x

^{3 x² 12 x 1} )

^{+ + +}

f ( x) + +

f(x ) 32 768 + 19

lim

x

2 x

3x ² 12 x 1 lim

x

2 x

et lim

X

X

donc lim

x

f (x) . De même lim

x

f (x ) .

2. La fonction f est continue et strictement croissante sur ] 1] avec lim

x

f (x ) et f ( 1) 0 donc l équation f (x ) 0 admet une unique solution dans l intervalle ] 1].

De même, l équation f (x ) 0 admet une unique solution dans l intervalle [ 1 2] et une unique solution dans l intervalle ]2 [.

L équation f(x ) 0 a donc exactement trois solutions dans . 3. A la calculatrice (tableau de valeurs ou algorithme), on obtient :

1,86 ; 0,08 et 3,28.

III.

Pour tout réel x, on pose g (x)= f( x)− x.

g est continue sur comme différence de fonctions continues sur .

On a g (a) = f( a) ‒ a = ‒ a < 0 (car a est compris entre 0 et 1) et g( b) = f (b ) ‒ b = 1 ‒ b > 0 (car b < 1).

Alors, d’après le th des valeurs intermédiaires, l’équation g( x) = 0 admet au moins une solution α comprise entre a et b.

Or g ( ) = 0 f ( ) = 0 f( ) =

Alors, α est une solution de l’équation f (x ) = x et α est compris entre 0 et 1 puisque est compris entre a et b, avec a et b entre 0 et 1.

On a donc prouvé que l’équation f (x ) = x admet au moins une solution ( ) dans ]0 ; 1[.