() () DEVOIR A LA MAISON N°20. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°20. TS2.

Pour le lundi 14 mai 2018.

SUJET A. PRÉPARER LE BAC.

Soit (u n ) la suite définie par u 0 3, u 1 6 et, pour tout entier naturel n : u

_{n 2}

5

4 u

_{n 1}

1 4 u

_n

Partie A. Conjectures.

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (u n ) à l’aide d’un tableur.

On a reproduit ci-dessous une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de u 0 et de u1.

A B

1 n u

n

2 0 3

3 1 6

4 2

5 3

6 4

7 5

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite (u n ) dans la colonne B.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10 ⁻³ près de u n

pour n allant de 2 à 5.

3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite (u n )?

Partie B. Étude de la suite

On considère les suites (v n ) et (w n ) définies pour tout entier naturel n par : v

n

u

n 1

1

4 u

n

et w

n

u

n

7.

1.

a. Démontrer que (v n ) est une suite constante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u

n 1

1 4 u

n

21 4 . 2.

a. En utilisant le résultat de la question 1. b., montrer par récurrence que, pour tout n de , u

n

u

n 1

15

b. En déduire que la suite (u n ) est convergente.

3.

a. Démontrer que (w n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u

n

7

 

  1 4

n.

. c. Calculer la limite de la suite (u n ).

SUJET B. VERS LA PRÉPA.

I. Soient a et b des réels strictement positifs. Prouver que a+2b+ab+ a b + b

a > 3a²+5a+2 a+1 . II. Soit n un entier naturel non nul et soit f

n

la fonction définie sur par f

n

(x) x

⁵

nx 1.

1. Justifier que, pour tout n de , l équation f

n

(x ) 0 admet une unique solution notée u

n

et déterminer le signe de u

n

.

2. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

ⁿ

^.

3. Montrer que, pour tout n de *, 1 2n u

n

1

n et en déduire la limite de la suite ( ) ^u

n

.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°20. TS2

Pour le lundi 14 mai 2018.

SUJET A. PRÉPARER LE BAC.

Partie A. Conjectures.

1. En B4, on entre la formule : 5

4 B3 1 4 B2 2. On obtient :

A B

1 n u

n

2 0 3

3 1 6

4 2 6,75

5 3 6,938

6 4 6.984

7 5 6,996

3. La suite (u n ) semble converger vers 7.

Partie B. Étude de la suite

On considère les suites (v n ) et (w n ) définies pour tout entier naturel n par : v

n

u

n 1

1

4 u

n

et w

n

u

n

7.

1.

a. Soit n un entier naturel.

v

n 1

u

(n 2) 1

4 u

n 1

5 4 u

n 1

1 4 u

n

1

4 u

n 1

u

n 1

1

4 u

n

v

n

. La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc constante.

v

0

u

1

1

4 u

0

6 1

4 3 7. Pour tout n de , v

n

21 4 . b. Ainsi, pour tout n de , u

n 1

1 4 u

n

21

4 , c'est-à-dire u

n 1

1 4 u

n

21 4 . 2.

a. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

3 et u

0 1

u

1

6 donc u

0

u

1

15.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u

p

u

p 1

15. Montrons que u

p 1

u

p 2

15.

u

p

u

p 1

15 donc 1 4 u

p

1 4 u

p 1

15 4 donc 1

4 u

p

21 4

1 4 u

p 1

21 4

15 4

21

4 . Or 15 4

21

4 9 15

donc u

p 1

u

p 2

15.

Conclusion : pour tout n de , u

n

u

n 1

15

b. La suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante et majorée par 15 donc elle converge.

3.

a. Soit n un entier naturel.

w

n 1

u

n 1

7 1 4 u

n

21

4 7 1

4 u

n

7 4

1

4 ( ^u

ⁿ

⁷ ) ¹

4 w

n

. La suite ( ) ^w

ⁿ

est donc géométrique de raison 1

4 et de premier terme w

0

u

0

7 6 7 1.

b. Soit n un entier naturel.

w

n

w

0

q

ⁿ

 

  1 4

n

et w

n

u

n

7 donc u

n

w

n

7 7

 

  1 4

n

.

c. 1 1

4 1 donc lim

n

 

  1 4

n

0 donc lim

n

u

n

7.

SUJET B. VERS LA PRÉPA.

I. Supposons a fixé strictement positif.

Soit f la fonction définie sur ₊ ^ par f (b) a 2 b a b a b

b a . f est dérivable sur ₊ ^ comme somme d'une fonction affine ( b

^

^⎯⎯→ a

 

 

2 a 

a b) et d'une fonction inverse (b

^

^⎯⎯→ a

b ).

Pour tout b de  +

, f '(b ) 2 a a b²

 a

ab²+a²b²−a²+b² ab²

b²(a²+a+)−a² ab²

b²(a+)²−a²

ab²

(b(a+)−a)(b(a+)+a)

ab² .

a et b étant strictement positifs, (b( a 1) a ) et ab ² sont strictement positifs.

Tableau de variation de f :

b( a 1) a 0  b a

a+ car a 1 0

b 0 a

a+ +

f'(b ) f(b)

f  

  a

a+ a 2 a a+

a² a+

a a a+

a a+

a a a

a+

a² a+

a(a+) a

a

a(a+) a(a+)+a+a²+(a+)²+

a+

= a²+a+

a+ . Donc a²+a+

a+ est le minimum de f sur ₊ ^ . Ainsi pour tout b de + 

, f (b ) a²+a+

a+

Or a était un réel strictement positif quelconque.

Ainsi pour tous a et b de + 

, on a a 2b ab a b

b

a  a²+a+

a+

II. Soit n un entier naturel non nul et soit f

n

la fonction définie sur par f

n

(x) x

⁵

nx 1.

1. Soit n un entier naturel. On montre facilement que f

n

est strictement croissante sur , avec lim

x

f(x ) et lim

x

f(x ) , on applique le TVI pour montrer que l équation f

n

(x) 0 admet une unique solution notée u

_n

.

De plus, f

n

(0) 1 0 donc u

n

0.

2. Soit n un entier naturel.

f

n 1

( ) ^u

ⁿ

( ) ^u

^{n 5}

^{(n 1) u}

ⁿ

¹ ( ) ^u

^{n 5}

^nu

ⁿ

^u

ⁿ

^{1 f}

ⁿ

( ) ^u

ⁿ

^u

ⁿ

^u

ⁿ

^{car f}

ⁿ

( ) ^u

ⁿ

0 par définition de u

n

Or u

n

0 f

n 1

( ^u

^{n 1}

) ^{donc f}

^{n 1}

( ) ^u

ⁿ

^f

^{n 1}

( ^u

^{n 1}

) . La fonction f étant strictement croissante, on en déduit que u

_n

u

_{n 1}

. La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc croissante.

3. Soit n un entier naturel non nul.

f

n

 

  1 2 n  

  1 2n

5

1

2 1 1

32n

⁵

1

2 . Or n 1 donc 32 n

⁵

2 donc 1 32 n

⁵

1

2 0.

Ainsi, f

n

 

  1

2 n f

n

( ) ^u

ⁿ

et donc, la fonction f étant strictement croissante, 1

2n u

n

. De même, f

n

 

  1 n

1

n

⁵

0 donc f

n

 

  1

n f

n

( ) ^u

ⁿ

^{et donc 1}

n u

n

. On a donc, pour tout n de *, 1

2n u

n

1 n . D après le th des gendarmes, lim

n

u

_n

0.