() () () DEVOIR A LA MAISON N°15. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°15. TS2.

Pour le mercredi 30 mars 2016.

I. On appelle f la fonction définie sur [0 [ par f (x) 1 4 xe

x

2

. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Déterminer la limite de f en . En déduire une conséquence graphique pour C.

2. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 [.

3. On considère la fonction F définie sur [0 [ par F( x)  

0

x

f( t)dt.

a. A l aide du cours, donner la dérivée F de f sur [0 [. En déduire le sens de variation de F

sur [0 [

b. Soit G la fonction définie sur [0 [ par G( x) e

x

2

x

2 e

x

2

. Montrer que G est une primitive de f sur [0 [.

c. En déduire que, pour tout x de [0 [, F( x) e

x

2

x

2 e

x 2

1.

d. Calculer la limite de F en + .

e. Justifier l’existence d’un unique réel tel que F( ) 0,5. A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de à 10

⁻²

près par excès.

f. Soit n un entier naturel non nul. On note A

_n

l’aire en unités d’aire de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations x 0 et x n. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que A

n

0,5.

II. Pour aller vers le supérieur. Ne pas hésiter à poser des questions si nécessaire.

( ) ^u

ⁿ

est la suite définie sur

^*

par u

n

1

n 1 + 1

n 2 + … + 1 2n 1. Déterminer le sens de variation de la suite ( ) ^u

ⁿ

^.

2.

a. Montrer que pour tout réel x strictement positif, 1  1

x ln(x) x  1.

b. En déduire que pour tout entier naturel p non nul, 1

p 1 ln

 

 

p 1

p

1 p . 3.

a. n est un entier naturel non nul. Ecrire l’encadrement précédent pour les valeurs n, n 1, … , 2n  1 de p.

b. En déduire que u

_n

ln(2) u

_n

+ 1 2 n

4. Montrer que la suite ( ) ^u

ⁿ

converge puis déterminer sa limite.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°15. TS2

I. On appelle f la fonction définie sur [0 [ par f (x) 1 4 xe

x

2

. On appelle C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. Pour tout x 0, f( x) 1

4 2

x 2

e

x 2

1 2

x 2

e

x 2

. On pose X x

2 . lim

x

X et lim

X

X

e^X

0 donc lim

x

f( x) 0. L axe des abscisses est une asymptote à C en + .

2. f est dérivable sur +. Pour tout x 0, f ( x) 1 4 e

x

2

1

4 x

 

 

1 2

e

x 2

= 1

4 e

x 2

 

 

1

¹

2

x . On peut construire le tableau de signes et variations :

x 0 2 + 1

4 e

x

2

+ +

1 1

2 x +

f ( x) +

f 1

2e

0 0 3. On considère la fonction F définie sur [0 [ par F (x )  

0

x

f (t )dt . a. D après le cours, F est dérivable sur + et F ( x) f (x) 1

4 xe

x 2

. Pour tout x de +, 1

4 xe

x

2

0 donc F est croissante sur +.

b. G est dérivable sur +. Pour tout x de + : G (x) 1

2 e

x 2

 

 

1

2

e

x

2 x

2 1 2

e

x

2

1

4 xe

x

2

f( x) donc G est une primitive de f sur +.

c. F est une autre primitive de f sur + donc il existe un réel k tel que, pour tout x de +, F( x) G( x) k.

D autre part, F (0)  

0

0

f (t )dt 0 donc 0 G(0) k, c'est-à-dire k G(0) ( 1) 1.

Ainsi, pour tout x de [0 [, F( x) e

x

2

x

2 e

x 2

1.

d. lim

x

e

x

2

0 et lim

x

x 2

e

x

2

0 (voir 1) donc lim

x

F( x) 1.

e. La fonction F est continue et strictement croissante sur + ; F(0) 0 ; lim

x

F( x) 1 et 0,5 est compris entre 0 et 1. Alors l équation F (x ) 0,5 admet une unique solution dans +.

D après la calculatrice, 3,36.

f. Soit n un entier naturel non nul. f étant positive sur +, A

n

 

0

n

f( t)dt F (n ).

D après la question précédente, F étant croissante, le plus plus petit entier naturel n tel que

A

_n

0,5 est n 4.

II. Pour aller vers le supérieur.

( ) ^u

n

est la suite définie sur

^*

par u

_n

1

n 1 + 1

n 2 + … + 1 2n 1. Pour tout n de * :

u

n 1

u

n

1 n 2

1

n 3 … 1

2n

1 2n 1

1 2 n 2

1 n 1

1

n 2 … 1

2 n 1

2 n 1 1 2n 2

1 n 1

(2n 2) (2n 1) 2(2 n 1) (2n 1)(2n 2)

1

(2n 1)(2n 2) 0 donc la suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante.

2.

a. Soit x un réel strictement positif.

Posons f(x ) 1 1

x ln(x ) et g( x) ln(x ) x 1. Montrons que f( x) 0 et g( x) 0.

f et g sont dérivables sur +*.

f (x) 1 x²

1 x

1 x

x² et g (x ) 1

x 1 1 x

x . f ( x) et g (x )sont du signe de 1 x sur +*.

On peut donc construire le tableau suivant :

x 0 1 +

1 x +

f 0

g 0

f et g ont pour maximum 0 sur +* donc : pour tout x 0, f (x ) 0 et g (x ) 0.

Ainsi, pour tout réel x strictement positif, 1  1

x ln(x ) x  1.

b. Soit p un entier naturel non nul. On applique le résultat précédent à x p 1

p 0 :

1 p

p 1 ln

 

 

p 1

p

p 1

p 1, c'est-à-dire 1

p 1 ln

 

 

p 1

p

1 p . 3.

a. Soit n un entier naturel non nul.

D après la question précédente, on a : 1

n 1 ln

 

 

n 1

n

1 n 1

n 2 ln

 

 

n 2 n 1

1 n 1 …

1

2n 1 ln

 

 

2n 1 2n 2

1 2n 2 1

2 n ln

 

 

2n 2n 1

1 2n 1

b. En ajoutant les inégalités précédentes, et en utilisant le fait que ln

 

 

a

b

ln( a) ln( b), on obtient :

1 n 1

1

n 2 … 1

2n ln(2 n) ln( n) 1 n

1

n 1 … 1

2n 1 c'est-à-dire u

n

ln(2) u

n

1 n

1

2n , c'est-à-dire u

n

ln(2) u

n

+ 1 2 n

4. La suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante et majorée par ln(2) donc elle converge vers un réel L.

D après la question précédente, on a L ln(2) L 0 (car lim

n

1

2n

0).

Ainsi L ln(2) : la suite ( ) ^u

ⁿ

converge vers ln(2).