DEVOIR A LA MAISON N°4. TS2.
Pour le lundi 9 octobre 2017.
I. f est la fonction définie par f (x ) x² 1
x ² 8x 7 et C
fest sa courbe représentative dans un repère.
1. Déterminer l ensemble de définition de f.
2. Construire le tableau de variations de la fonction f.
3. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et les faire apparaître dans le tableau de variations.
4. Donner les asymptotes verticales et horizontales à la courbe de f.
II. Une usine produit des pièces électroniques.
Chaque pièce passe successivement par deux machines : A et B. Un test a montré que la probabilité que la pièce ait un défaut dû à la machine A est 1
20 et que la probabilité que la pièce ait un défaut dû à la machine B est 1
10 , ces défauts étant indépendants. L ensemble de la production est vendue. On sait que chaque pièce coûte 7 euros à produire et à tester et qu il faut compter 4€ supplémentaires pour réparer une pièce
défectueuse. On note p le prix de vente d une pièce.
1. On choisit une pièce au hasard et on note B la variable aléatoire donnant le bénéfice (positif ou négatif) de l usine pour cette pièce.
a. A l aide d un arbre, montrer que la probabilité que la pièce soit défectueuse est 29 200 . b. Donner la loi de probabilité de B en fonction de p.
c. L entreprise veut pouvoir espérer faire du bénéfice. Combien doit-elle vendre chaque pièce ? 2. On choisit maintenant 15 pièces au hasard et on note X la variable aléatoire correspondant au nombre de pièces défectueuses parmi les 15.
a. Donner la loi de X. Justifier.
b. A la calculatrice, déterminer la probabilité d obtenir exactement 7 pièces défectueuses.
c. A la calculatrice, déterminer la probabilité d obtenir moins de 7 pièces défectueuses.
d. A la calculatrice, déterminer la probabilité d obtenir 6 pièces défectueuses ou plus.
III. Facultatif. Laisser toutes vos traces de recherche et n hésitez pas à poser des questions si vous êtes bloqués.
F est une fonction définie sur . On sait que pour tout n de , F (n ) , F( n) n et F (F (n )) 3 n.
1. Dét erminer F(6).
2. Conjecturer une expression de F ( ) 3
net de F ( 2 3
n) en fonction de n.
3. Prouver vos conjectures.
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3. TS2
I. f est la fonction définie par f (x ) x² 1
x ² 8x 7 et C
fest sa courbe représentative dans un repère.
1. x² 8x 7 0 a pour solutions 1 et 7 (on calcule puis les racines).
f est donc définie sur \{ 1 7}.
2. f est dérivable sur \{ 1 7}.
f ( x) 2 x( x² 8x 7) ( x² 1)(2x 8) (x ² 8x 7)
28 x² 12x 8 ( x² 8x 7)
2On cherche l e si gne de 8 x² 1 2x 8 : 400 et les racines sont 2 et 1 2 . On a donc le tableau de variation :
x 7 2 1 1
2 +
8x ² 12x 8 + + + a 8 0
(x² 8 x 7)
2+ + + + +
f (x ) + + +
f +
1
1
+ 1
1/9 3. lim
x
f (x ) lim
x
x ²
x ² lim
x
1 1 et lim
x
f(x ) lim
x
x ²
x ² lim
x
1 1.
Cherchons lim
x 7
f(x) : lim
x 7
x² 1 50 et lim
x 7
x² 8x 7 0. Il faut donc chercher le signe de x² 8x 7.
On a le tableau de signes suivant :
x 7 1 +
8x ² 12x 8 +
Ainsi on a : lim
x 7
x² 1 50 donc li m
x 7
f( x) . lim
x 7
x² 8 x 7 0 +
lim
x 7
x² 1 50 donc li m
x 7
f( x) . lim
x 7
x² 8 x 7 0
lim
x 1
x² 1 2 donc li m
x 7
f( x) . lim
x 1
x² 8 x 7 0 lim
x 1
x² 1 2 donc li m
x 7
f( x) . lim
x 7
x² 8 x 7 0
4. La droite d équation y 1 est asymptote horizontale à C
f.
Les droites d équations x 7 et x 1 sont asymptotes verticales à C
f.
II.
1. .
a. On définit les événements suivants :
D
A: "la machine a un défaut qui provient de la machine A"
D
B: "la machine a un défaut qui provient de la machine B"
On peut construire l arbre ci contre.
La probabilité que la pièce ne soit pas défectueuse est P DA DB 19
20 9 10
171 200
donc la probabilité que la pièce soit défectueuse est 1 171 200
29 200 . b. On peut construire le tableau suivant :
k p 7 p 11
P( B k) 171
200
29 200 c. E (B ) 171
200 (p 7) 29
200 ( p 11) p 7,58. En moyenne, sur un grand nombre de pièces vendues, l entreprise gagne p 7,58 euros par pièce. Elle doit donc vendre chaque pièce plus de 7€58 pour espérer faire du bénéfice.
2. On choisit maintenant 15 pièces au hasard et on note X la variable aléatoire correspondant au nombre de pièces défectueuses parmi les 15.
a. On répète 15 fois l épreuve de Bernoulli à deux issues qui consiste à choisir une pièce et à noter si elle est défectueuse. Les répétitions sont indépendantes. La probabilité qu une pièce soit défectueuse est 29
200. La variable aléatoire X qui compte le nombre de pièces défectueuses suit alors la loi binomiale de paramètres 15 et 29
200 .
b. La probabilité d obtenir exactement 7 pièces défectueuses est P (X 7) 2,5 10
3. c. La probabilité d obtenir moins de 7 pièces défectueuses est P( X 6) 0,997
d. La probabilité d obtenir 6 pièces défectueuses ou plus est P(X 6)=1-P(X 5) 0,014 III. Facultatif. Laisser toutes vos traces de recherche et n hésitez pas à poser des questions si vous êtes bloqués.
1. F( F(0)) 3 0 0 et F( F(0)) F(0) donc 0 F (0), avec F (0) entier naturel. Ainsi, F(0) 0.
F (F (1)) 3 1 3 et F (F (1)) F (1) 1 donc 3 F (1) 1. F (1) est donc égal à 1 ; 2 ou 3.
Si F(1) 1 : F (F (1)) F(1) 1. Or on a F (F (1)) 3 1 3 1. Alors F(1) 1.
Si F(1) 3 : F(F(1))=F(3) et F (F (1)) 3 1 3. On a donc F (3) 3 et donc F (F (3)) F(3). Mais F (F (3)) 3 3 9 3. Alors F(1) 3.
On a donc F(1) 2.
Alors F(2) F( F(1)) 3 1 3 F(3) F (F (2)) 3 2 6 F(6) F (F (3)) 3 3 9
2. En continuant de la même façon, on a F (9) F (F (6)) 3 6 18 ; F(18) F(F (9)) 27 ; F (27) 3 18 54 …
On peut conjecturer que, pour tout n de , F ( ) 3
n2 3
net F ( 2 3
n) 3
n 1.
3. Prouvons-le par récurrence :
Initialisation : pour n
00 : F ( ) 3
0F(1) 2 et 2 3
02 1 2 donc F ( ) 3
02 3
0et F ( 2 3
0) F(2) 3 et 3
0 13 donc F ( 2 3
0) 3
0 1Les propriétés sont vraies pour n
00.
Hérédité : soit p un entier 0 tel que F ( ) 3
p2 3
pet F ( 2 3
p) 3
p 1. Montrons que F ( 3
p 1) 2 3
p 1et F ( 2 3
p 1) 3
p 2DA
1 20
DB 1
10
DB 9
10
DA 19
20 DB
1 10
DB 9
10
