() DEVOIR A LA MAISON N°11. TS2.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°11. TS2.

Pour le lundi 15 janvier 2018.

I. 1. On donne z 2 ki (3i 5) (4 2i ). Déterminer le réel k tel que z est un réel.

2. On donne z ′ 5(k ′)

²

i 4(1 ik ′)–k ′. Déterminer les réels k ′ tels que z est imaginaire pur.

3. Déterminer, s’il existe, un réel a tel que a² a 1 3 i 1 (2a 1) i II.

1. Lire et comprendre le I du document Espace Rappels de géométrie dans l espace (seconde) 2. Dans l a fi gure ci -contre, ABC DEFGH est un cube, I est un point de [EF ], J est un point de [FG ] et K est un point de [FB ].

Donner l a posi tion relative de : (IJ) et ( EH ) : ………

(HD) et (BF) : ………

(JK ) et (GH) : ………

(IJK) et ( EGH) : ………

(ABC) et ( EFG) : ………

(BC G) et ( BFG) : ………

(IJ) et (AEH ) : ………

(IJ) et (ABC ) : ………

(HG) et (ABG ) : ………

III. 1. x étant un réel, rappeler les formules donnant cos(2x) et sin(2 x) (Formules de duplication) et celle liant cos²(x ) et sin²(x).

2. f est la fonction définie sur par f( x) cos( x)sin(2 x) 2sin(x ) et C

f

est sa courbe dans un repère ( O i j ) .

a. Montrer que f est 2 -périodique.

b. Calculer f

 

 

3

et f

 

 

3

. f est-elle paire ? Impaire ? Justifier.

c. Montrer que, pour tout x de , f′( x) 6cos(x)(cos( x) 1)(cos( x) 1) d. Construire le tableau de variation de f sur [0 ].

e. Sans calcul, en justifiant, déduire des questions a, b et c le tableau de variations de la fonction

f sur [ 2 2 ].

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°11. TS2

I. 1. z 6 k 10 ki 4 2 i ( 6k 4) i(2 10 k) z est un réel ssi 2 10 k 0

ssi k 1 5

2. z ′ 5( k′)

²

i 4(1 i k′)– k′ 5 k

²

i 4 4i k k 5 k

²

k 4 i(1 4 k ) z est imaginaire pur ssi 5 k

²

k 4 0

81 donc l équation a deux solutions qui sont 1 et 4 5 z′ est imaginaire pur ssi z ′ 1 ou z′ −4

5 . 3. Soit a un réel.

a² a 1 3i 1 (2a 1)i  a² a 1 3i 1 2ai i







a² a 1 1

3 2a 1 car deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la 





a² a 2 0

a 1 même partie imaginaire et la même partie réelle.







1 1 2 0

a 1







2 0

a 1

Le système n a pas de solution donc il n existe pas de réel a tel que a ² a 1 3 i 1 (2a 1)i

II.

1. 2. (IJ) et ( EH ) : sécantes dans le plan ( EFG) (HD) et ( BF) : parallèles dans le plan (HBF ) (JK ) et ( GH) : non coplanaires

(IJK ) et (EGH ) : sécants selon la droite (IJ ) (ABC ) et (EFG ) : strictement parallèles (BC G ) et (BFG ) : confondus

(IJ) et ( AEH) : sécants

(IJ) et ( ABC) : strictement parallèles

(HG) et ( ABG) : la droite ( HG ) est contenue dans le plan (ABG ) IV.

1. Pour tout réel x, on a cos²( x ) sin²(x) 1 ; sin(2x ) 2sin( x)cos( x) et cos(2x) cos²(x) sin²( x ) cos²(x) (1 cos²( x)) 2cos²(x ) 1.

2. a. Soit x un réel. f( x 2 ) cos(x 2 )sin(2x 2 2 ) 2sin(x 2 ).

Les fonctions sin et cos sont 2 -périodiques donc cos(x 2 ) cos( x), sin(2 x 2 2 ) sin(2 x) et sin(x+2 =sin( x)

Ainsi, f( x 2 ) cos(x )sin(2 x) 2sin(x ) f( x). la fonction f est donc 2 -périodique.

b. f  

  3 cos  

  3 sin  

  2

3 2sin  

  3

1 2

3 2

2 3 2

3 3

4 .

(3)

f  

 

3

cos

 

 

3

sin

 

 

2

3

2s in

 

 

3

1 2  

 

3

2

2  

 

3 2

3 3 4 . Il est pos sibl e que f soit impaire.

Soit x un réel. f ( x ) cos( x )sin( 2x ) 2sin( x) cos(x ) ( sin(2x )) 2 ( sin(x )) cos( x)sin(2 x) 2sin(x ) f ( x)

f est donc une fonction impaire.

c. f est dérivable sur .

f (x) sin( x)sin(2 x) cos( x) 2cos(2 x ) 2cos(x)

f (x) si n(x ) 2s in (x )cos(x ) 2cos(x )(2cos² (x ) 1) 2 cos ( x) f (x) 2sin²( x)cos( x) 4cos

³

(x ) 4 cos(x)

f (x) 2(1 cos²(x ))cos(x ) 4cos

³

(x ) 4cos(x) f (x) 2cos(x ) 2cos

³

(x ) 4cos

³

(x) 4 cos( x) f (x) 6cos

³

(x ) 6 cos(x)

f (x) 6cos(x )(cos²(x ) 1)

f (x ) 6cos(x )(cos(x) 1)(cos( x ) 1) d. Sur [0 ] :

cos(x ) 0  0 x

2 et cos(x) 0 

2 x

cos ( x) 1 0  cos( x) 1  0 x et cos( x ) 1 0 n a pas de solution.

cos ( x) 1 0 n a pas de solution et cos(x) 1 0 cos( x) 1  0 x On a donc le tableau de variations suivant :

x 0

2 cos( x) +

cos(x ) 1

cos( x) 1 + +

f ( x) +

f( x) 0 0

2 e. f est impaire doc sa courbe est symétrique par rapport à l origine. f est donc croissante sur     2 et décroissante sur     2 0 avec f    

2

f    

2