() () () () () () () () () () () () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°1. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°1. TS2.

Pour le ...

I. f est la fonction définie par f(x) x² 8 x 2 .

1. Construire le tableau de variation de la fonction f (penser à déterminer la dérivée de f et à étudier son signe).

2. ( )^un est la suite définie pour tout n de par u_n f(n).

a. Calculer u0 ; u1 ; u2.

b. En utilisant la question 1, étudier les variations de la suite ( )^un . 3. ( )^vn est la suite définie pour tout n de par



v₀ 3

vn 1 f( )^{vn .}

a. Peut-on déduire les variations de ( )^vn de celles de f ? Pourquoi.

b. Calculer en écrivant le calcul v1.

c. A la calculatrice, construire le tableau de valeurs de la suite ( )^vn pour n allant de 1 à 15.

d. Quel semble être le sens de variation de la suite ( )^{vn ?}

e. Quelle semble être la limite de la suite ( )^{vn ?}

4. ( )^wn est la suite définie pour tout n de par



w0 5 wn 1 f( )^wn

. a. Calculer en écrivant le calcul w1.

b. A la calculatrice, construire le tableau de valeurs de la suite ( )^wn pour n allant de 1 à 15.

c. Quel semble être le sens de variation de la suite ( )^{wn ?}

d. Quelle semble être la limite de la suite ( )^{wn ?}

5. Résoudre l équation f(x) x. Que constate-t-on ?

II. Dans un pays de population constante égale à 60 millions d habitants, on comptait au 1er janvier 2015 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux.

On constate que chaque année 20% des ruraux émigrent en ville et 10% des citadins s installent en zone rurale.

On note un la population en zone rurale (en millions d habitants) et vn la population en ville (en millions d habitants) au 1er janvier de l année 2015 n.

1. Donner u0 et v0.

2. Traduire le fait que la population est constante par une relation entre un et vn. 3. Justifier que, pour tout n de , un 1 0,7un 6.

4. Pour tout n de , on pose an un 20.

a. Montrer que la suite ( )^an est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

b. Exprimer an en fonction de n.

c. Exprimer un puis vn en fonction de n.

d. Calculer la population rurale et la population citadine en janvier 2040. Arrondir à un habitant près.

e. A la calculatrice, conjecturer les limites des suites ( )^un et ( )^vn . Interpréter.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°1. TS

I.

1. f est définie et dérivable sur \{ 2}.

f (x) (2x)(x 2) (x² 8)1 (x 2)²

x² 4x 8 (x 2)²

Signe de x² 4x 8 : 48 donc le trinôme a deux racines qui sont 2 2 3 et 2 2 3 et il est du signe de a 1 0 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau de variation suivant :

2. ( )^un est la suite définie pour tout n de par un f(n).

a. u0 f(0) 4 ; u1 f(1) 3 ; f(2) 3.

b. La fonction f est croissante sur [ ^{2 2 3} [ ^{et 2 2 3 1,5.}

La suite ( )^un est définie de façon explicite par un f(n) donc la suite ( )^un est croissante à partir du rang 2.

3.

a. On ne peut pas déduire les variations de ( )^vn de celles de f car la suite ( )^vn est définie par récurrence et non de façon explicite.

b. v1 f(3) 3² 8 3 2

17 5 . c.

d. La suite ( )^vn semble être croissante.

e. La suite ( )^vn semble converger vers 4.

4.

a. w1 f(5) 5² 8 5 2

33 7 b.

c. La suite ( )^wn semble être décroissante.

d. La suite ( )^wn semble converger vers 4 5. f(x) x x² 8

x 2 x

x² 8 x(x 2) et x≠ 2 x² 8 x²+2x et x≠ 2 4 x et x≠ 2

f(x) x a pour unique solution 4. C est la limite des suites ( )^{vn et} ( )^{wn .}

II. Dans un pays de population constante égale à 60 millions d habitants, on comptait au 1er janvier 2015 20 millions de citadins et 40 millions de ruraux.

On constate que chaque année 20% des ruraux émigrent en ville et 10% des citadins s installent en zone rurale.

On note un la population en zone rurale (en millions d habitants) et vn la population en ville (en millions d habitants) au 1er janvier de l année 2015 n.

1. u0 40 et v0 20.

2. Pour tout n de , un vn 60.

3. Pour tout n de : un 1 un 0,2un 0,1vn 0,8un 0,1(^60−un) 0,7un 6.

4. Pour tout n de , on pose an un 20.

a. Soit n un entier naturel.

x 2 − 2 3 2 2 2 3 +

x² 4x 8 +

(x 2)² +

f (x)

variation de f 4 3 4

4 3 4

an 1

an

un 1 20 un 20

0,7un 6 20 un 20

0,7un 14 un 20

0,7(^{un 20})

un 20 0,7. Le quotient ne dépend pas de n donc la suite ( )^an est géométrique de raison 0,7 et de premier terme a₀ u₀ 20 40 20 20.

b. Pour tout n de , a_n a₀ qⁿ 20 0,7ⁿ.

c. Pour tout n de , u_n a_n 20 20 0,7ⁿ 20 et v_n 60−u_n 40−20 0,7ⁿ. d. Janvier 2040 correspond à n 2040 2015 25.

u25 20 0,7²⁵ 20 20,002682 et v25 60 u25 39,997318. En janvier 2040, il y aura environ 20 002 682 ruraux et 39 997 318 citadins.

e. La suite ( )^un semble converger vers 20 et la suite ( )^vn semble converger vers 40.

A long terme, la population rurale se stabilisera autour de 20 millions et la population citadine se stabilisera autour de 40 millions.