() () DEVOIR A LA MAISON N°18. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°18. TS2.

Pour le lundi 30 avril 2018.

SUJET A. PREPARER LE BAC.

I. Lois continues.

La société Fibration fournit des abonnements Internet et des abonnements de téléphone mobile. Un client de la société Fibration souscrit soit un abonnement Internet, soit un abonnement de téléphone mobile, il ne cumule pas les deux. En cas de difficulté, la société Fibration propose à ses clients une ligne d’assistance téléphonique : le client doit d’abord signaler s’il est client Internet ou s’il est client mobile puis son appel est mis en attente de réponse par un opérateur.

Si nécessaire, les résultats seront arrondis à 10

. Partie A. Durée d’attente

1. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client Internet lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur.

Une étude permet de modéliser cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D

qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,6.

a. Quelle est la durée d’attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d’assistance?

b. Calculer la probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes.

2. Dans cette question, on s’intéresse à la durée d’attente d’un client mobile lorsqu’il contacte l’assistance téléphonique avant de joindre un opérateur. On modélise cette durée d’attente en minutes par la variable aléatoire D

qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, λ étant un réel strictement positif.

a. Sachant que P ( ^D

4 ) 0,798, déterminer la valeur exacte de λ.

b. En prenant λ 0,4, peut-on considérer que moins de 10 % des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur?

Partie B. Obtention d’un opérateur

Si la durée d’attente avant l’obtention d’un opérateur dépasse 5 minutes, l’appel prend automatiquement fin. Sinon, l’appelant obtient un opérateur.

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d’assistance.

On admet que la probabilité que l’appel émane d’un client Internet est 0,7.

De plus, d’après la partie A, on prend les données suivantes :

— Si l’appel provient d’un client Internet alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,95.

— Si l’appel provient d’un client mobile alors la probabilité d’obtenir un opérateur est égale à 0,87.

1. Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur.

2. Un client se plaint que son appel a pris fin après 5minutes d’attente sans avoir obtenu d’opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile?

II. Intégrales et algorithme.

On considère la suite (u

) définie pour tout entier naturel n par : u

 

0

n

e

dx . On ne cherchera pas à calculer u

en fonction de n.

1.

a. Montrer que la suite (u

) est croissante.

b. Démontrer que pour tout réel x 0, on a : x² 2 x 1 puis e

e

. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : u

e

2 .

c. Démontrer que la suite (u

) est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite.

2. Dans cette question, on se propose d’obtenir une valeur approchée de u

. Dans le repère orthonormé ( ^{O i j} ) au dos de la feuille, on a tracé la courbe C

représentative de la fonction f définie sur l’intervalle [0 2] par f (x ) e

, et le rectangle OABC où A (2 0), B (2 1) et C (0 1).

On a hachuré le domaine D compris entre la courbe C

, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la

droite d’équation x 2.

On considère l’expérience aléatoire consistant à choisir un point M au hasard à l’intérieur du rectangle OABC .

On admet que la probabilité p que ce point appartienne au domaine est :

p Air e d e D Air e de OABC a. Justifier que u

2p.

b. On considère l’algorithme suivant : L1 C0

L2 Pour k variant de 1 à N

L3 X  nombre aléatoire entre 0 et 2 L4 Y  nombre aléatoire entre 0 et 1 L5 Si Y e

alors

L6 C  C +1

L7 Fin si L8 Fin pour L9 F  C/N L10 Afficher F

i.Que permet de tester la condition de la ligne L5 concernant la position du point M(X ; Y )?

ii.Interpréter la valeur F affichée par cet algorithme.

iii. Que peut-on conjecturer sur la valeur de F lorsque N devient très grand?

c. En faisant fonctionner cet algorithmepour N = 10

, on obtient C 441 138. On admet dans ce cas que la valeur F affichée par l’algorithme est une valeur approchée de la probabilité p à 10

près.

En déduire une valeur approchée de u

à 10

près.

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Pour le lundi 30 avril 2018.

SUJET B. VERS LA PRÉPA.

I. A l aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que : pour tout n de *, pour tout x de , | sin( nx ) | n | sin(x ) |

Rappel : - la valeur absolue d’un produit de réels est égale au produit des valeurs absolues de ces réels.

- l’inégalité triangulaire : pour tous réels a et b, | ^{a b} | ^a | | b II. Principe de démonstration par contraposition :

Pour établir qu’une propriété P implique une propriété Q (i.e. P  Q ) il est équivalent de montrer que le contraire de Q implique le contraire de P (i.e. Q  P ). On dit alors que l’on raisonne par contraposition.

En raisonnant par contraposition, montrer que si a b est irrationnel alors ou a ou b est irrationnel.

III. 2 2 2 2 …….. ?

0 1

Cf C

A

B

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°18. TS2

SUJET A. PREPARER LE BAC.

I. Lois continues.

Partie A. Durée d’attente 1.

a. E ( ) ^D

¹

0,6 5

3 . La durée d attente moyenne est 5

3 minutes, soit 1 minutes 40 secondes.

b. P ( ^D

⁵ ) _ ^

0

5

0,6e

dt

 

  e

0 5

e

1 0,950.

La probabilité que la durée d’attente d’un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes est environ 0,950.

2.

a. P ( ^D

4 ) 0,798 donc

 

  e

0 4

0,798 donc 1 e

0,798 donc e

0,202 donc ln(0,202 )

4 0,4 à 10

près.

b. P ( ^D 2 5 ) 1 P ( ^D 2 5 ) 1 1 e 5 e

e

e

0,135 0,1.

On ne p eu t pas considérer que moins de 10 % des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur.

Partie B. Obtention d’un opérateur

On peut construire l arbre pondéré ci-contre :

1. I et I forment une partition de . D après la formule des probabilités totales, on a :

P(O ) P (I ) P

( O) P ( ) ^{I P}

(O ) 0,7 0,95 0 , 3 0,87 0,926.

La probabilité que le client joigne un opérateur est 0,926.

2. P

O

( I) P ( ^{O I} )

P ( ) ^O

0,7 0,05 1 0,926

35

74 0,473.

La probabilité que le client soit un client internet est 35 74 . La probabilité que ce soit un client mobile est donc 1 35

74 39 74 . Il est donc plus probable que ce soit un client mobile.

II. Intégrales et algorithme.

1. Soit n un entier naturel.

a.

u

u

 

n n 1

e

dx . Pour tout x de [n n 1], e

0 donc  

n n 1

e

dx 0.

La suite (u

) est donc croissante.

b. Soit x un réel positif ou nul et n un entier naturel.

(x 1)² 0 donc x² 2x 1 0 donc x ² 2 x 1

donc e

e

car la fonction exponentielle est croissante sur . Alors u

 

0

n

e

dx  

0

n

e

dx car 0 n .

Or  

0

n

e

dx

 

0

n

1

2 ( 2)e

dx

 

  1

2 e

0

n

1

2 e

1 2 e

1

2

e 1

2 e

e

2 car e

0.

Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : u

e 2 . c. La suite ( ) ^u

est croissante et majorée par e

2 donc elle est convergente.

Démontrer que la suite (u

) est convergente. On ne cherchera pas à calculer sa limite.

2.

a. u

 

0

2

e

dx. 0 2 et e

0 sur [0 2] donc u

est l aire de D.

Ainsi, p u

Air e d e OABC

u

2 1

u

2 . On a donc u

2p.

b.

i. La condition de la ligne L5 permet de tester si le point M( X Y ) est en dessous de la courbe de f.

ii.F représente la proportion de points parmi les N qui sont dans le domaine D.

iii. On peut conjecturer que, lorsque N devient très grand, F est proche de p.

c. On obtient u

2 441138

10

, c'est-à-dire u

0,88.

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Pour le lundi 30 avril 2018.

SUJET B. VERS LA PRÉPA.

I. Soit x un réel.

Initialisation : pour n

1 : | sin(1x ) | | sin(x ) | 1 | sin( x) donc la propriété est vraie pour n |

1.

Hérédité : soit p un entier naturel non nul tel que | ^{sin(px )} | ^p | ^{sin(x ) .} |

| ^{sin(( p 1) x)} | | ^{sin( px x )} | | ^{sin( px )cos(x} ) cos(p x)sin( x) |

donc | ^{sin(( p 1)x)} | ^{sin(px )} | cos(x ) | | cos(p x) | | sin( x) (d après les rappels) |

Or, pour tout réel x, | ^{sin(x )} | ^{1 et} | ^{cos( x)} | ^1.

Ainsi, sin(px ) et | cos(p x) étant positifs, | | ^{sin((p 1 )x )} | ^{sin( px )} | ^{sin(x ) .} |

D après l hypothèse de récurrence, | sin(px ) | p | sin(x) |

Ainsi , | ^{sin(( p 1 )x )} | ^p | sin( x) | | sin( x ) , |

c'est -à-dire | ^{sin((p 1 )x)} | ^{(p 1 )} | ^{sin( x) .} |

Conclusion : pour tout n de *, | sin(nx) | n | sin(x) |

II. Principe de démonstration par contraposition :

La contraposée de la propriété à prouver est : "si a et b sont rationnels, alors a b est rationnel".

Prouvons-le :

Soit a et b deux rationnels. Alors il existe quatre entiers x,y ,z et t tels que a x

y et b z t .

a b x

y z t

xt z y

yt avec xt z y et yt des entiers donc a b est un rationnel.

On dit que l addition est une loi interne dans l ensemble des rationnels (x/y+z/t=

On a donc prouvé que si a b est irrationnel alors ou a ou b est irrationnel.

III. Soit la suite ( ) ^u

définie sur par u

2 et, pour tout n de , u

2 u

. A la calculatrice, il semble que la suite ( ) ^u

converge vers 2.

On montre facilement par récurrence que, pour tout n de , 0 u

u (n 1) 2.

La suite ( ) ^u

est croissante et majorée par 2 donc elle converge vers un réel L tel que 0 L 2.

D après le cours (avec la rédaction qui convient), on a L 2 L L 2 L donc L² 2 L

donc L ² L 2 0 donc L 2 ou L 1 L étant positif, L 2.

Ainsi, lim

n

u

2, c'est-à-dire 2 2 2 2 …….. 2.