() () () () () () () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°3. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°3. TS2.

Pour le lundi 25 septembre 2017.

I. Pour tout n de , on pose u

n

2

4 n² 8n 3 et S

n

u

0

u

1

u

2

… u

n

1 Déterminer les réels a et b tels que que pour tout n de , u

n

a 2n 1

b 2n 3 . 2 En déduire que pour tout n de , S

n

1 1

2 n 3 . 3 Déterminer la limite de la suite ( ^S

ⁿ

. )

II. On considère la suite ( ) ^u

ⁿ

définie par u

0

4 et, pour tout n de , u

n 1

u

n

2

9

2u

_n

.

On admet que la suite ( ) ^u

n

est bien définie sur (et donc que u

_n

est non nul pour tout entier naturel n).

1.

a. Résoudre l équation x ² 9

2x 3.

b. Montrer par récurrence sur que u

n

est différent de 3 pour tout entier naturel n.

Pour tout n de , on pose v

n

u

n

3 u

n

3 .

2. Pourquoi la suite ( ) ^v

n

est-elle définie pour tout n de ?

3. On construit la feuille de calcul ci-contre donnant les valeurs de u

n

et v

n

.

a. Qu a-t-on entré dans la cellule B3 puis recopier vers le bas pour obtenir les valeurs de u

n

? b. Qu a-t-on entré dans la cellule C2 puis recopier vers le bas pour obtenir les valeurs de v

n

? 4. Montrer que, pour tout n de , v

n 1

( ) ^v

n

2

.

5. Montrer par récurrence que, pour tout n de , v

_n

( ) ^v

0 2ⁿ

. 6. On admet que, pour tout n de , v

_n

est différent de 1.

Déterminer une expression de u

n

en fonction de n.

III. Facultatif.

Axiome de récurrence multiple :Supposons qu une propriété P (n ) soit vraie pour n 0 et n 1 et supposons que si P( n) et P (n+1 ) sont vraies, alors P( n 2) est vraie. Alors, P (n ) est vraie pour tout entier naturel n.

Soit ( ) ^u

n

la suite définie par



  u

0

1 u

₁

2

u

n 2

u

n 1

u

n

pour tout n de ).

1. Soit ( ) ^v

ⁿ

la suite définie sur par v

n

r

ⁿ

, où r est un réel non nul.

Déterminer les valeurs r

1

et r

2

de r pour lesquelles v

n 2

v

n 1

v

n

pour tout entier n. On notera r

2

la plus grande des deux valeurs.

2. Déterminer les réels et tels que u

₀

u

₁

=αr

1

+βr

2

. 3. Montrer que pour tout n de , u

n

r

1

n

r

2

n

. On a donc obtenu une formule explicite pour u

n

. 4. On admet (se démontre facilement par récurrence) que u

n

est non nul pour tout n de *. Soit

( ) ^w

n

la suite définie pour tout n de * par w

_n

u

n 1

u

n

. Déterminer la limite de la suite ( ) ^w

n

.

5. Chercher comment s appelle la suite ( ) ^u

ⁿ

et comment s appelle le nombre r

2

et où on peut le

trouver.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°3. TS

I. Pour tout n de , on pose u

n

2

4 n² 8n 3 et S

n

u

0

u

1

u

2

… u

n

1 Soient a, b des réels et n un entier naturel.

a 2 n 1

b 2n 3

(2n 3)a (2n 1)b (2 n 1)(2n 3)

(2a 2 b )n (3a b ) 4 n² 8n 3 Par identification, u

n

a 2 n 1

b

2 n 3 pour tout n de ssi

 

 2a 2b 0

3a b 2

ssi sys(a= b;-3b+b=2) ssi    a 1

b 1

Ainsi, pour tout n de , u

n

1 2 n 1

1 (2 n 3).

2 Méthode 1 (peu rigoureuse) : S

n

u

0

u

1

u

2

… u

n

1

2 0 1

1 2 0 3

1 2 1 1

1 2 1 3

1 2 2 1

1

2 2 3 … 1

2n 1

1 2 n 3 1 1

3 1 3

1 2

1 5

1

7 …

On constate que les termes s’annulent deux à deux. Ainsi, pour tout n de , S

n

1 1 2n 3 . Méthode 2. Par récurrence :

Initialisation : pour n

0

0 : S

0

u

0

1 1

1 3

2

3 et, d’autre part, 1 1 2 0 3

2 3.

La propriété est donc vraie pour n

0

0

Hérédité : soit p un entier naturel supérieur ou égal à 0 tel que S

_p

1 1

2p 3 . Montrons

que S

p 1

1 1

2( p 1) 3 , c'est-à-dire S

p 1

1 1 (2 p 5).

S

p 1

S

p

u

p 1

1 1 2 p 3

1 2( p 1 ) 1

1

(2 (p 1 ) 3 )

⁾

d’après l a questi on 1

1 1

2p 3

1 2p 3

1

2p 5 1 1

2 p 5 Conclusion : pour tout n de , S

n

1 1

(2n 3).

3 lim

n

2 n 3 et lim

N

1

N 0 donc lim

n

1

2n 3

⁾

0 et donc lim

n

S

n

1.

II. On considère la suite ( ) ^u

ⁿ

définie par u

0

4 et, pour tout n de , u

n 1

u

n

2

9

2u

_n

.

On admet que la suite ( ) ^u

ⁿ

est bien définie sur (et donc que u

n

est non nul pour tout entier naturel n).

1.

a. La valeur interdite est 0.

x² 9

2x 3  x² 9 6 x et x  0 x ² 9 6x 0 et x  0  ( x 3)

²

0 et x  0  x 3 x² 9

2x 3 a pour unique solution 3.

b. Initialisation : pour n

0

0, u

0

4  3. La propriété est vraie pour n

0

3.

Hérédité : Soit p un entier 0 tel que u

p

 3. Montrons que u

p 1

 3.

u

p 1

3 ssi u

p

3 d après la question précédente.

Or u

p

 3, et donc u

p 1

 3.

Conclusion : u

n

est différent de 3 pour tout entier naturel n.

Pour tout n de , on pose v

_n

u

n

3 u

n

3 .

2. u

n

est différent de 3 pour tout entier naturel n donc u

n

3 est différent de 0.

On peut donc calculer v

n

pour tout n de . La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc définie pour tout n de . 3. On construit la feuille de calcul ci-contre donnant les valeurs de u

n

et v

n

.

a. En B3, on a entré =(B2*B2+9)/(2*B2) b. En C2, on a entré =(B2 3)/(B2+3) 4. Soit n un entier naturel.

v

n 1

u

n 1

3 u

_{n 1}

3

𝑢𝑛2+9 2𝑢𝑛

−3

𝑢𝑛2+9

2𝑢𝑛

+3 = ^𝑢

^𝑛2

^+9−6𝑢

^𝑛

2𝑢

𝑛

× ^2𝑢

^𝑛

𝑢

𝑛2

+9+6𝑢

𝑛

= ^(𝑢

^𝑛

⁻³⁾

²

(𝑢

𝑛

+3)

²

= ( ^𝑢

^𝑛

⁻³

𝑢

𝑛

+3 ) ² = (𝑣 _𝑛 ) ²

5. Initialisation : pour n

0

0, ( ) ^v

^{0 20}

( ) ^v

^{0 1}

^v

⁰

donc la propriété est vraie pour n

0

0.

Hérédité : Soit p un entier 0 tel que v

p

( ) ^v

^{0 2p}

. Montrons que v

p 1

( ) ^v

^{0 2p 1}

^.

v

p 1

( ) ^v

^{p 2}

( ( ) ^v

^{0 2p}

)

²

( ) ^v

^{0 2p 2}

( ) ^v

^{0 2p 1}

^.

Conclusion : pour tout n de , v

n

( ) ^v

^{0 2n}

^.

6. Soit n un entier naturel. v

n

u

n

3

u

n

3 donc v

n

( ^u

ⁿ

³ ) ^u

ⁿ

³

donc u

n

v

n

u

n

3 3 v

n

donc u

n

( ^v

ⁿ

¹ ) ^{3 3 v}

ⁿ

donc u

n

3 3v

n

v

_n

1 puisque v

n

1 0

donc u

_n

3 3 ( ) ^v

^{0 2n}

( ) ^v

^{0 2n}

¹

III. Facultatif.

Axiome de récurrence multiple :Supposons qu une propriété P (n ) soit vraie pour n 0 et n 1 et supposons que si P( n 1) et P( n) sont vraies, alors P (n 1) est vraie. Alors, P (n ) est vraie pour tout entier naturel n.

Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par



  u

0

1 u

1

2

u

n 2

u

n 1

u

n

pour tout n d e ).

1. Soit n un entier naturel.

v

_{n 2}

v

_{n 1}

v

_n

 r

^{n 2}

r

^{n 1}

r

ⁿ

 r

²

r 1 car r est non nul

 r² r 1 0  r 1 5

2 ou r 1 5

2 . On pose r

1

1 5

2 et r

2

1 5

2 . pour lesquelles v

n 2

v

n 1

v

n

pour tout entier n. On notera r

2

la plus grande des deux valeurs.

2.    u

0

u

₁

r

₁

r

₂



 

 1

2 r

1

r

2

    1

(1 ) r

1

r

2

2 



  1 2 r

₁

r

2

r

1



 

 ^{5 3 5} ₁₀

5 3 5 10 3. Initialisation : pour n 0 : r

1

0

r

2

0

u

0

et r

1

1

r

2

1

r

1

r

2

u

1

par déf de et . La propriété est donc vraie pour n 0 et n 1.

Hérédité : soit p un entier 1 tel que u

p

r

1

p

r

2

p

et u

p 1

r

1 p 1

r

2 p 1

Montrons que u

p 2

r

1 p 2

r

2 p 2

.

Par définition de la suite ( ) ^u

n

,

u

p 1

u

p

u

p 1

r

1 p 1

r

2 p 1

r

1

p

r

2

p

( ^r

^{1p 1}

^r

^1p

) ( ^r

^{2p 1}

^r

^2p

)

Or, d après la question 1 (par déf de r

₁

et r

₂

), r

₁^{p 2}

r

₁^p

r

₁^{p 1}

et r

₂^{p 2}

r

₂^p

r

₂^{p 1}

. Ainsi, u

p 2

r

1

p 2

r

2 p 2

Conclusion : pour tout n de , u

n

r

1

n

r

2

n

. On a donc obtenu une formule explicite pour u

n

. 4. Pour tout n de , w

n

r

1 n 1

r

2 n 1

a r

1

n

r

2

n

r

1 n 1

r

2 n 1

r

1

n

r

2

n

car .

r

1

( )

^rr12

n

r

2

 

  r

₁

r

2

n

1

on simplifie par et par r

2 n

r

1

r

2

5 3

2 0,38  ] 1 1[ donc lim

n

 

  r

1

r

2 n

0 Alors lim

n

w

n

r

2

1 r

2

1 5

2 .

5. ( ) ^u

n

est la suite de Fibonacci ; r

₂

est le nombre d or, on le trouve en architecture, en peinture,

dans la nature…