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DEVOIR A LA MAISON N°2. TS2.

Pour le ...

I. On considère la suite

( )

^un définie par u0 2 et un 1 un pour tout n 0. Montrer par récurrence que, pour tout n de , 1 un 2.

II. On considère la suite

( )

^un définie par u0 1 et un 1 un 2n 3 pour tout n 0.

1. Donner les 4 premiers termes de la suite

( )

^un .

2. Montrer par récurrence que, pour tout n de , u_n n².

3. Conjecturer l expression de u_n en fonction de n.

4. Démontrer la conjecture faite à la question 3.

III.

( )

^un est la suite définie par u0 1 et, pour tout n de , un 1

1 2un 2.

1. Ecrire un algorithme qui demande un entier n et calcule et affiche un

2. Ecrire un algorithme qui demande un entier N et calcule et affiche la somme u0 u1 u2 ... uN. 3. Programmer cet algorithme et déterminer S20 u0 u1 u2 ... u20.

4. Pour tout n de , on pose vn un 4.

a. Montrer que la suite

( )

^vn est géométrique.

b. Exprimer vn puis un en fonction de n.

c. Exprimer en fonction de n les sommes Tn v0 v1 v2 ... vn puis Sn u0 u1 u2 ... un. d. Calculer S20 et vérifier le résultat obtenu à la question 3.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°2. TS2

I.

Initialisation : Pour n0 0, u0 2 et 1 2 2 donc 1 u0 2. La propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que 1 up 2. Montrons que 1 up 1 2.

1 u_p 2 donc 1 u_p 2 car la fonction racine carrée est croissante sur [1 ; 2].

donc 1 up 1 2

Or, 2 1,4 2. Donc : 1 u_{p 1} 2 Conclusion : pour tout n de , 1 un 2.

II. On considère la suite

( )

^un définie par u0 1 et un 1 un 2n 3 pour tout n 0.

1. u0 1 ; u1 1 2 0 3 4 ; u2 4 2 1 3 9 ; u3 9 2 2 3 16.

2.

Initialisation : Pour n₀ 0, u₀ 1 et 0² 0 donc u₀ 0². La propriété est vraie pour n₀ 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que u_p p². Montrons que u_{p 1} (p 1)². u_{p 1} u_p 2p 3 et u_p p² donc u_{p 1} p² 2p 3.

D autre part, (p 1)² p² 2p 1.

Ainsi, u_{p 1} p² 2p 3 p² 2p 1 et donc u_{p 1} (p 1)². Conclusion : pour tout n de , u_n n².

3. D après la question 1, il semble que pour tout n de , u_n (n 1)². 4.

Initialisation : Pour n0 0, u0 1 et (0 1)² 1 donc u0 (0 1)². La propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que up (p 1)². Montrons que up 1 (p 2)².

up 1 up 2p 3 (p 1)² 2p 3 p² 4p 4 (p 2)². Conclusion : pour tout n de , un (n 1)².

III.

1. On peut écrire l algorithme suivant : Demander n

u prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n

u prend la valeur 1 2u 2 Fin pour

Afficher u

2. On peut écrire l algorithme suivant : Demander N

u prend la valeur 1 S prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à N

u prend la valeur 1 2u 2 S prend la valeur S u Fin pour

Afficher S

3. En entrant N 20, on obtient S₂₀ 74.

4. Pour tout n de , on pose vn un 4.

a. Soit n un entier naturel. v_{n 1} vn

u_{n 1} 4 un 4

1

2un 2 4 un 4

1 2un 2

un 4 1 2

u_n 4 un 4

1

2. La suite

( )

^vn

est géométrique de raison 1

2 et de premier terme v0 u0 4 1 4 5.

b. Pour tout n de , vn 5



 1 2

n 5

2ⁿ et un vn 4 5 2ⁿ 4 c. Tn v0

1 

 1 2

n 1

1 ¹ 2

2v0





1 ¹

2^{n 1} 10





1 ¹

2^{n 1}

S_n u₀ u₁ u₂ ... u_n v₀ 4 v₁ 4 v₂ 4 ... v_n 4 T_n 4(n 1) 10





1 ¹

2^{n 1} 4(n 1) d. S20 10





1 ¹

2²¹ 4 21 −74. On retrouve le résultat obtenu à la question 3.