Correction Devoir Maison 2

Seconde 2

Correction Devoir Maison 2

EXERCICE 1 :

Reproduire le tableau et le compléter : x

− 2x + 5 4x + 3 Signe du produit

−∞ − 3 4

5

2 + ∞

+ + 0 −

− 0 + +

− 0 + 0 −

EXERCICE 2 :

On considère la fonction f définie sur R par :

f (x) = (2x − 1)

− (4x + 1)(x − 2)

1. ∀ x ∈ R , f (x) = 4x

− 4x + 1 − (4x

− 8x + x − 2) = 4x

− 4x + 1 − 4x

+ 8x − x + 2 = 3x + 3

Comme f (x) peut s’écrire sous la forme ax + b avec a et b deux nombres réels, la fonction f est affine . 2. Le coefficient directeur de f est 3, comme ce nombre est strictement positif, la fonction affine f est croissante . 3. On résout f (x) = 0 ⇔ 3x + 3 = 0 ⇔ x = − 1. L’antécédent de 0 par f est − 1 .

4. g la fonction affine dont la représentation graphique ∆

passe par les points A( − 2; − 4) et B(2; − 1).

(a) g(x) = ax + b et a = y

− y

x

− x

= − 4 − ( − 1)

− 2 − 2 = − 3

− 4 = 3 4 Pour déterminer b, on utilise un point de ∆

: y

= 3

4 x

+ b ⇔ − 1 = 3

4 × 2 + b ⇔ b = − 5 2 Ainsi l’expression de g(x) est g(x) = 3

4 x − 5 2

(b)

O

∆

∆

bc bc bc bc

bc bc

bc

K

I J

Points de ∆

: (0, 3), ( − 1, 0) ; points de ∆

: ceux de l’énoncé.

(c) Les deux droites se coupent en K(a, b) (en effet, elles ne sont pas parallèles car les coefficients directeurs sont différents).

K(a, b) ∈ ∆

∩ ∆

⇔

b = 3a + 3

b = 0, 75a − 2, 5 ⇔

b = 3a + 3

3a + 3 = 0, 75a − 2, 5 ⇔

b = 3a + 3

2, 25a = − 5, 5 ⇔







b = − 13 3 a = − 22

9 Les coordonnées du point d’intersection des deux droites ∆

et ∆

sont K

− 22 9 , − 13

3

.

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EXERCICE 3 :

1. Dans une classe, il y a 35 élèves dont 20 filles. Le pourcentage de filles, arrondi à l’unité, est 20

35 ≈ 57%

2. Dans une animalerie, 40% des animaux sont des chiens et 15% des chiens sont des bergers. Le pourcentage de bergers parmi les animaux est : 40% × 15% = 6%

3. Dans un magasin, il y a 80 clients, dont 30 % sont des hommes. Le nombre d’hommes est de : 30% × 80 = 24 4. Mon loyer est passé de 450 à 486 e . Cela correspond à une augmentation de : 486

450 = 1 + p% ⇔ p% = 8%

5. Après une réduction de 10% puis une réduction de 20 %, la réduction totale est de : (1 − 10%)(1 − 20%) = 0, 9 × 0, 8 = 0, 72 qui correspond à une baisse de 28%

6. Après une augmentation de 15 %, un téléviseur coûte 920 e . Son prix avant l’augmentation est de : p × 1, 15 = 920 ⇔ p = 920 ÷ 1, 15 = 800 e

EXERCICE 4 :

d

bA

b

B

bC

bD

bE

bF

bG

bH

bI

b

J

bK

bL

1. Les points B, I, A et E sont coplanaires, contenus dans le plan (ABE), et les droites (BI) et (AE) ne sont pas paral- lèles : elles sont donc sécantes, on appelle K leur point d’intersection.

K appartient à la droite (AE), contenue dans le plan (AGE) donc K appartient au plan (AGE). Comme il est aussi sur la droite (BI), contenue dans le plan (BIJ ), K appartient également au plan (BIJ ).

Par un raisonnement identique, on prouve que le point L est dans le plan (BIJ ) et dans le plan (AGE). (

) On vient de trouver deux points contenus dans deux plans sécants, la droite qui passe par ces deux points est la droite d’intersection des deux plans,

(AGE) ∩ (BIJ) = (d) = (KL)

2. Les points B, I, J, K et L sont coplanaires, on peut donc appliquer dans le plan qui les contient ((BIJ )) les théorèmes de géométrie plane. En particulier, on peut utiliser le théorème des milieux. Il suffit de prouver que les points I et J sont les milieux respectifs des segments [BK] et [BL].

Pour I : les droites (KE) et (BF ) sont parallèles (utiliser la face du parallélépipède), on est en présence d’une configuration de Thalès (deux droites sécantes (EF ) et (BK) coupées par deux parallèles (KE) et (BF )) dans la quelle :

I ∈ [BK], et IB IK = IF

IE =

milieu

1 Ainsi IB = IK et I est bien le milieu de [BK].

Un même raisonnement s’applique pour prouver que J est le milieu de [BL].

Dans le triangle BKL la droite qui passe par les milieux I et J des côtés [BK] et [BL], est parallèle au troisième côté (KL). CQFD

Autre solution : Avec le théorème des milieux, on démontre que les droites (EG) et (IJ) sont parallèles. Les plans (BIJ) et (AEG) passent par les deux droites et se coupent suivant la droite (d). D’après le théorème du toit, la droite (d) est parallèle aux droites (IJ ) et (EG). Re-CQFD

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