TS : correction du contrôle de géométrie dans l’espace

TS : correction du contrôle de géométrie dans l’espace

I (3 points)

SABCD est une pyramide régulière à base carrée. M est le milieu de [SA], N est le point de [SC] tel queSN=3 4SC.

1. Mappartient à la droiteS Adonc au plan (S AC) ; de mêmeNappartient à la droiteSCdonc au plan (S AC).

On en déduit que la droite (M N) appartient au plan (S AC).

Dans le plan (SAC), S, M et A sont alignés ; S, N et C sont alignés dans le même ordre :SM S A =1

2;SN SC =3

4. SM

S A 6=SN

SC. D’après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (M N) et (AC) sont coplanaires et non paral- lèles, donc elles sontsécantes.

2. Pour avoir le point d’intersection de (MN) et (AC), il suffit de prolonger les deux droites.

A B

C D

S

×

M ×N ×

K

II (3 points)

Dans un tétraèdre ABCD, I est un point de l’arête [AB], J un point de l’arête [CD].

Le but de l’exercice est de trouver l’intersection des plans (AJB) et (CID).

1. I appartient à la droite (AB) donc au plan (AJB) et au plan (CID).

J appartient à la droite (CD) donc au plan (CID) et au plan (AJD).

2. L’intersection de deux plans est une droite.

I et J appartiennent à chacun des plans (AJD) et (CID) ; l’intersection de ces deux plans est donc ladroite (IJ).

A B

C D

S

×

×

I J

III (3 points)

On considère un cube ABCDEFGH,

I est un point de l’arête [AB], J un point de l’arête [CG].

I appartient à la droite (AB) donc au plan (ABJ), ainsi qu’au plan (CGI).

J appartient à la droite (CG) donc au plan (CGI), ainsi qu’au plan (ABJ).

I et J appartiennent donc à l’intersection de ces deux plans, donc l’in- tersection des plans (ABJ) et (CGI) est ladroite (IJ).

bA ^bB

bC

bD

bE ^bF

bG

bH

×I

×J

IV (3 points)

Dans un repère orthonormé³ O;−→

i ;→− j ;−→

k´

, on considère les pointsA(0 ; 3 ; 4),B(1 ;−1 ;−1) etC(2 ; 0 ; 2).

1. −→

B A



−1 4 5



;−→

BC



1 1 3



donc−→

B A.−→

BC= −1+4+15=18. 1 pt

2. On en déduitB A=p

(−1)²+4²+5²=p

42 ;BC=p

1²+1²+3²=p 11.

−→B A.−→

BC=B A×BC×cosABC d’où 18=p 42×p

11 cosABCdonc cosABC= 18 p42×p

11 . 1.5 pt

On en déduit queABC≈ 33, 13 ˚. 0.5 pt

V (2 points)

Dans un repère orthonormé³ O;−→

i ;→− j ;−→

k´

, on considère le point A(1 ; 3 ; -5) et le vecteur→−n



1

−5 2



.

Une équation du planP_{est 1(x−1)−5}^¡_y−3^¢_{+2(z+5)=0 d’où x−5y+2z+24=0}

VI (3 points)

Dans un repère orthonormé³ O;−→

i ;→− j ;−→

k´

, on considère les plansP_etQd’équations respectives : P _{: 2x+3y−5z+8=0 et}

Q _{: 3x−7y−3z−5=0.}

−

→n



 2 3

−5



est un vecteur normal au planP_.

−

→n^′



3

−7

−3



est un vecteur normal au planQ_.

−

→n.→−

n^′=2×2+3×(−7)+(−5)×(−3)=6−21+15=0.

−

→n ⊥−→

n^′doncP_etQ_sontorthogonaux.

VII (3 points)

Dans un repère orthonormé³ O;−→

i ;→− j ;−→

k´

, on considère le planPd’équation cartésienne 2x+3y−z+2=0 et un pointA(1 ; 5 ;−2).

−

→n



 2 3

−1



est un vecteur normal au planP, donc un vecteur directeur de la droiteD_. Une représentation paramétrique de la droiteD_{est :}







x=1+2t y=5+3t z= −2−t

t∈R