Proportionnalité en géométrie
I. Agrandissement-réduction et théorème de Thalès
Soit la configuration de Thalès suivante : (MN) est parallèle à (BC).
Théorème de Thalès : Si une droite est parallèle à un côté d’un triangle, alors les deux triangles formés ont des côtés proportionnels.
Le coefficient de proportionnalité pour passer des longueurs de ABC à AMN est donné par :
Autrement dit :
Si (BM) et (CN) sont sécantes en A et que (BC) et (MN) sont parallèles, alors d’après le théorème de Thalès :
Exercice 1 page 93, 3-5 page 94,
Comme AB, AC et BC sont plus grands que AM, AN et MN, le coefficient de proportionnalité est plus petit que 1.
Donc le triangle AMN est une réduction de ABC. De même, on dirait que ABC est un agrandissement de AMN.
II. Agrandissement et réduction d'une figure
Exemple : MNP et ABC sont deux triangles dont les mesures sont donnés ci-dessous :
Longueurs de MNP MN = 5 cm MP = 4 cm NP = 3 cm Longueurs sur ABC AB = 10 cm AC = 8 cm BC = 6 cm
On remarque que l’on passe des longueurs du triangle MNP à celles du triangle ABC en multipliant par 2. De même on
passe des mesures de ABC à MNP en multipliant par (en divisant par 2).
Par conséquent les longueurs des deux triangles sont proportionnelles.
On dit que le triangle ABC est un agrandissement de MNP ou que MNP est une réduction de ABC.
En règle générale :
Une figure F’ est un agrandissement d’une figure F si leurs dimensions sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité passant des longueurs de F à F’ est supérieur à 1.
Une figure F’ est une réduction d’une figure F si leurs dimensions sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité passant des longueurs de F à F’ est inférieur à 1.
Exercice 1, 4, 9, 10 page 96, 97
III. Propriétés des agrandissements et des réductions
• Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, les angles sont conservés.
• Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés
Exemple : On passe de la figure 1 (trapèze rectangle) à la figure 2 en multipliant chacune des longueurs par 1,5. La figure 2 est donc un agrandissement de la figure 1.
Les angles de même couleur sont conservés. Le parallélisme et la perpendicularité (angles rouges) sont aussi conservés.
Exercice 1 page 98
