DEVOIR A LA MAISON N°2. TS2. Pour le lundi 18 septembre 2017.

DEVOIR A LA MAISON N°2. TS2.

Pour le lundi 18 septembre 2017.

I. Méthode à retenir !

Soit ( ^u

n

la suite définie par ) u

₀

3 et, pour tout entier naturel n, u

_{n 1}

= 2 u

n

u

n

1 . 1. Montrer par récurrence que pour tout n de , u

_n

0

2. f est la fonction définie sur [0 [ par f(x ) 2 x x 1 . a. Montrer que f est croissante sur[0 [.

b. Montrer par récurrence que pour tout entier n de , u

n

u

n+1

1.

II. ( ^u

n

est la suite définie par ) u

0

0 et pour tout entier naturel n , u

n 1

u

n

2( n 1).

1. Calculer u

1

et u

2

.

2. On considère l'algorithme suivant :

Variables

N et K sont des entiers V et U sont des réels Début algorithme

Demander la valeur de N U prend la valeur 0 Pour K allant de 0 à N 1 U prend la valeur U+2(K+1) Fin pour

V prend la valeur U – N Afficher U et V

Fin algorithme

a. Faire fonctionner cet algorithme avec N 3 puis N 5.

b. Pour N n , exprimer les valeurs affichées de U et de V à l'aide de u

n

et n .

c. A l’aide de la question a (en faisant d’autres exemples si besoin), émettre une conjecture sur l'expression de V en fonction de n puis sur l'expression de u

n

en fonction de n .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u

n

n² n . 4. En déduire la limite de la suite ( ^u

n

. )

Vous traiterez un des deux exercices suivants, au choix.

III. Pour s’entraîner.

1. Déterminer la limite de chacune des suites définies ci-dessous : a. ( ) ^t

n

définie par t

n

= cos(3 n 1)

3n 1 pour tout n de . b. ( ) ^w

n

définie par w

n

3n 9

n 2

pour tout entier n supérieur ou égal à 3.

c. ( ) ^z

n

définie par z

n

2 n 1 2 n 5 pour tout n de . 2. On considère la suite ( ) ^u

ⁿ

définie pour tout n de par

 

 ^u

⁰

² u

_{n 1}

1

¹

u_n

. Montrer par récurrence que, pour tout n de , 1 u

_n

2. Attention au sens des inégalités !! Justifier chaque étape !!

OU IV. Pour chercher.

Rappel : soit ( ) ^u

ⁿ

une suite et soit L un réel. On dit que lim

n

u

n

L si pour tout réel 0, l intervalle ]L L [ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang.

1. Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par u

n

= 3 + 1

n² , pour tout n de .

a. Soit un intervalle ouvert I de la forme I ]3 3 [ où est un réel strictement positif.

Déterminer un entier n

0

(fonction de ) tel que, pour tout n n

0

: u

n

appartient à l intervalle I.

b. Qu a-t-on démontré ? 2. Démontrer que si lim

n

u

n

L et lim

n

v

n

L où L et L sont des réels, alors lim

n

u

n

v

n

L L .

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°2. TS

I. Méthode à retenir !

Soit ( ^u

ⁿ

la suite défiinie par ) u

0

3 et, pour tout entier naturel n, u

n 1

= 2 u

_n

u

n

1 .

1. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

3 et 3 0 donc la propriété est vraie pour n

0

0.

Hérédité : soit p un entier naturel supérieur ou égal à 0 tel que u

p

0. Montrons que u

p 1

0.

u

p

0 donc 2u

p

0 et u

p

1 0 donc 2 u

p

u

p

1 0, c'est-à-dire u

p 1

0.

Conclusion : pour tout n de , u

n

0

2. f est la fonction définie sur [0 [ par f (x ) 2x x 1 .

a. f est dérivable sur [0 [ comme fonction rationnelle définie sur cet intervalle.

f ′(x) 2(x 1) 2x 1 (x 1)²

2

(x 1)² 0 donc f est croissante sur[0 [.

b. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

3 et u

1

6 4

3

2 donc u

0

u

1

1 donc la propriété est vraie pour n

₀

0

Hérédité : soit p un entier naturel supérieur ou égal à 0 tel que u

_p

u

_{p 1}

1. Montrons que u

p 1

u

p 2

1.

u

_p

u

_{p 1}

1 donc f ( ^u

p

) f (u

_{p 1}

) f(1) car f est croissante sur[0 [.

donc u

p 1

u

p 2

1 puisque u

p 1

f ( ^u

p

et ) u

p 2

f(u

p 1

) et f(1) 1 Conclusion : pour tout n de , u

n

0 u

n

u

n+1

1.

II.

1. u

1

0 2(0 1) 2 et u

2

2 2(1 1) 6.

2.

a. Pour N 3 :

Pour N 5, on obtient U 30 et V 25.

b. U correspond à u

n

et V correspond à u

n

n.

c. Il semble que V n² et, puisque V u

n

n, u

n

V n n² n.

3. Initialisation : pour n

0

0 : u

0

0 et 0² 0 0. La propriété est vraie pour n

0

0.

Hérédité : Soit p un entier tel que u

p

p² p . Montrons que u

p 1

(p 1)² ( p 1) p ² 3p 2.

u

p 1

u

p

2( p 1) p² p+2(p 1) p² p 2p 2 p² 3p 2 Conclusion : pour tout entier naturel n, u

n

n ² n.

4. lim

n

u

n

lim

n

n² .

III. Pour s’entraîner.

1. Déterminer la limite de chacune des suites définies ci-dessous :

a. Pour tout n de , 1 cos(3n 1) 1 et 3n 1 0

Ainsi, pour tout n de , 1 3n 1 t

n

1 3n 1 . On pose N 3 n 1. lim

n

N lim

n

3n 1 et lim

N

¹

N

0 donc lim

n

¹ 3n 1

De même lim

n

1 3n 1

Alors, d après le th des gendarmes, lim

n

t

_n

0.

b. On pose N 3 n 9 n 2 lim

n

N lim

n

3n 9 n 2

lim

n

3n

n

lim

n

3 3 et lim

N 3

N 3 .

Ainsi, lim

n

w

n

3 .

c. On a une FI.

z

_n

2 n 1 2n 5 ( 2 n 1 2n 5 ) ( 2n 1 2n 5 ) ( 2n 1 2 n 5 )

)

4

2n 1 2n 5

On pose N 2 n 1. lim

n

N lim

n

2 n 1 et lim

N

N donc lim

n

2 n 1 .

De même, lim

n

2 n 5 .

On pose M 2n 1 2 n 5

On a alors lim

n

M lim

n

2n 1 2 n 5

Enfin, lim

M

⁴

M

0.

Ainsi, lim

M

z

n

0.

2. On considère la suite ( ) ^u

ⁿ

définie pour tout n de par

 

 ^u

⁰

² u

n 1

1

¹

u_n

.

Initialisation : pour n

0

0. u

0

2 donc 1 u

0

2. La propriété est vraie pour n

0

2.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que 1 u

_p

2. Montrons que 1 u

_{p 1}

2.

1 u

p

2 donc 1 1 u

p

1

2 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 [.

donc 2 1 1 u

_p

3 2 c'est-à-dire 3

2 u

p 1

2. Or 1 3

2 donc 1 u

p 1

2.

Conclusion : pour tout n de , 1 u

n

2.

OU IV. Pour chercher.

Soit ( ) ^u

ⁿ

la suite définie par u

n

= 3 + 1

n² , pour tout n de .

1. Soit un intervalle ouvert I de la forme I ]3 3 [ où est un réel strictement positif.

Recherche (au brouillon) : 3− ε 3+ 1

n ² 3+ε  − ε 1 n ² ε On va donc chercher n

¹

Sur la copie : Posons n

0

E  

 

1

1 Soit n n

0

. Alors n 1

. On a donc n ² 1

car l a f onct i on car ré est cr oi s sant e sur +

donc 1

n ² car l a fo nct i on i n verse est décr oi ssant e sur +*

d onc 3 1 n² 3 D aut re par t , − < 0 < 1

n ² car n 0

On a donc 3 3 1

n²

On a prouvé que, pour tout n n

₀

E

 

 

1

1 : 3 1

n² 3 , c'est-à-dire u

_n

 I.

Cela est vrai quel que soit le réel strictement positif.

Tout intervalle ouvert contenant 3 contient donc tous les termes de la suite à partir d un certain rang.

On a prouvé que lim

n

u

n

3.

2. Soit un réel strictement positif.

Alors 2 0.

lim

n

u

n

L donc il existe un entier n

1

tel que, pour tout entier naturel n n

1

, L 2 u

n

L 2 lim

n

vn L donc il existe un entier n

2

tel que, pour tout entier naturel n n

2

, L 2 vn L 2 Soit n

0

le plus grand des deux entiers n

1

et n

2

.

Soit n un entier naturel, n n

0

: n n

0

donc n n

1

donc L 2 u

n

L

2 n n

0

donc n n

2

donc L 2 v

n

L

2

En sommant membre à membre les deux inégalités précédentes, on obtient : L L u

n

v

n

L L Ainsi, pour tout entier naturel n n

0

, u

n

v

n

appartient à l intervalle ]L L L L [.

Ainsi, lim

n

u

n

v

n

L L .