DEVOIR A LA MAISON N°7. TS2.
Pour le lundi 20 novembre 2017.
I. Dans le plan complexe, on désigne par A et B les points d affixes respectives 1 et 1.
A tout point M d affixe z 1, on associe le point M d affixe z 1 z z 1 . 1. Soit C le point d affixe 2 i .
a. Calculer l affixe de C et représenter les points C et C . b. Montrer que les points A, C et C sont alignés.
2. Déterminer et représenter l ensemble des points M du plan qui ont pour image A.
3. Montrer que pour tout nombre complexe z 1, z 1
z 1 est réel.
4. Que peut-on en déduire pour les points A , M et M ? II. f est la fonction définie sur par f (x ) x
3x ² 1
x ² 1 , C
fest la courbe représentative de f dans un repère et T est la droite d équation y x 1 dans ce repère.
A l aide d un logiciel de calcul formel, on a obtenu l écran suivant :
En utilisant les résultats obtenus à l aide du logiciel (inutile de les redémontrer) : 1. Tracer la courbe de f à la calculatrice en choisissant la fenêtre suivante : x
min50 ; x
max50 ; y
min50 ; y
max50. Que peut-on conjecturer ?
2. Construire le tableau de variations de la fonction f en faisant apparaître les limites.
3. Montrer que l équation f (x ) 0 a une unique solution dans .
4. A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de à 10 près.
5. Donner le tableau de signes de la fonction f.
6. Déterminer lim
x
f (x ) x 1 Que peut-on en déduire pour C
fet T ?
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°7. TS2
I.
1. Soit C le point d affixe 2 i . a. L affixe de C est 1 ( 2 i )
2 i 1
2 i 3 i
(2 i)( 3 i) ( 3 i)( 3 i)
5 5 i 10
1 2
1 2 i . b. AC a pour affixe z
Cz
A2 i 1 3 i
AC a pour affixe z
Cz
A1 2
1
2 i 1 3
2 1 2 i On a donc AC 1
2 AC . Les vecteurs AC et AC sont colinéaires donc les points A ,C et C sont alignés.
Remarque : C est le milieu de [ AC ].
2. M( z) a pour image A ssi z 1
ssi 1 z z 1 et z 1 Posons z a ib avec a et b des réels.
M( z) a pour image A ssi 1 a ib a ib 1 et z 1 ssi 1 a a 1 et z 1
ssi a 2
L ensemble des points M du plan qui ont pour image A est la droite d équation x 2 3. Soit un nombre complexe z 1.
z 1 z 1
1 z
z 1
1
z 1
1 z z 1
( z 1 ( ) z 1)
2 ( z z )
z z ( z z ) 1
Or, d après le cours, z z et z z sont des réels.
Ainsi, z 1
z 1 est réel.
4. Soit M un point d affixe z 1.
AM a pour affixe z 1 et AM a pour affixe z 1.
D après la question 3, on a z 1 k( z 1) où k est un réel.
On a donc AM k AM où k est un réel.
Les vecteurs AM et AM sont colinéaires donc les points A, M et M sont alignés.
II.
f est la fonction définie sur par f( x) x
3x² 1
x² 1 , C
fest la courbe représentative de f dans un repère et T est la droite d équation y x 1 dans ce repère.
A l aide d un logiciel de calcul formel, on a obtenu l écran suivant :
En utilisant les résultats obtenus à l aide du logiciel (inutile de les redémontrer) : 1. La fonction semble croissante sur .
2. f est une fonction rationnelle définie sur et donc dérivable sur . D’après le logiciel, f ′(x ) x
43 x² 4x
x
42 x² 1 et f ′(x) 0 a pour ensemble de solutions
] 1[ ]0 [.
D’autre part, lim
x
f( x) lim
x
x 3
x 2
lim
x
x −
De même, lim
x
f( x)
On peut alors construire le tableau suivant :
x 1 0
f′( x) + +
f(x ) 1/2 + 1
3. Sur ] 0], le maximum de f est 1
2 0 donc l’équation f ( x) 0 n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur [0 [, f est continue et strictement croissante ; f (0) 1 ; lim
x
f (x) et 0 [ 1 [.
Alors l’équation f (x ) 0 a une unique solution dans [0 [.
Ainsi, l’équation f (x ) 0 a une unique solution dans . D’après la calculatrice, 0,75.
4. On a alors le tableau de signes suivant : x
f′( x)
5. D’après le logiciel, pour tout réel x, on a f (x ) ( x 1) x 2 x ² 1 . lim
x
f( x) x 1 lim
x
x 2
x² 1 lim
x
x
x² lim
x
![Dresser le tableau de variations puis construire la courbe pouvant représenter une fonction f dénie sur [−6; 10] telle que :](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)