DEVOIR A LA MAISON N°16. TS2. Pour le lundi 26 mars 2018. SUJET A. PREPARER LE BAC. I.

DEVOIR A LA MAISON N°16. TS2.

Pour le lundi 26 mars 2018.

SUJET A. PREPARER LE BAC.

I.

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Les variables sont le réel U et les entiers naturels k et N.

U  0

Pour k allant de 0 à N −1 U  3U −2k +3 Fin pour

Quelle est la valeur de U à la fin de l algorithme lorsque N 3 ? Partie B

On considère la suite (u n ) définie par u 0 0 et, pour tout entier naturel n, u n 1 3 u n 2n 3 1. Calculer u 1 et u 2 .

2.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n n.

b. En déduire la limite de la suite (u n ).

3. Démontrer que la suite (u n ) est croissante.

4. Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v n u n n 1.

a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n 3 ⁿ n 1.

5. Soit p un entier naturel non nul.

a. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n 0 tel que, pour tout n n 0 , u n 10 ^p ?

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n 0 . b. Justifier que n 0 3p.

c. Déterminer à l’aide de la calculatrice cet entier n 0 pour la valeur p 3.

d. Proposer un algorithme qui, pour une valeur de p donnée, donne en sortie dans la variable k, la valeur du plus petit entier n 0 tel que, pour tout n n 0 , on ait u n 10 ^p .

II. Montrer que pour tout x de [1 [, x² 1 ln(x ) 0.

SUJET B. PREPARER L ENTREE EN PREPA.

I. En remarquant que 4x 2x 2x et 3x …, résoudre dans l équation sin(4 x) sin(3 x) sin( x).

Aide : penser aux formules cos(2 x) …, sin(2 x) …

II. Soit f une fonction dérivable sur ]0 [ telle que, pour tous réels a et b de +*, f( ab ) f (a ) f (b ) [1].

1. Calculez f (1).

2. Soit a un réel strictement positif et soit g la fonction définie sur ]0 [ par g(x ) f( a x) a. En exprimant de deux façons différentes g (x ), montrer que pour tout x 0, f ( x) af ( a x).

b. En déduire qu'il existe une constante réelle k telle que : pour tout a 0, f '( a) k a . 3. On admet le théorème suivant :

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que, pour tout x de I, f′(x) g′(x). Alors, il existe un réel c tel que, pour tout x de I, f(x) g(x) c.

En déduire toutes les fonctions f, définies et dérivables sur ]0 [, qui vérifient la propriété [1].

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°16. TS2

I.

Partie A

k U

0

0 3 0 2 0 3 3

1 3 3 2 1 3 10

2 3 10 2 2 3 29

Si N 3, U 29 à la fin de l algorithme.

Partie B

On considère la suite (u n ) définie par u 0 0 et, pour tout entier naturel n, u n 1 3 u n 2n 3 1. u 1 3 u 0 2 0 3 3 0 2 0 3 3 et u 2 3 u 1 2 1 3 3 3 2 1 3 10.

2.

a. Initialisation : pour n 0 ; u ₀ 0 donc u ₀ 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u _p p. Montrons que u _{p 1} p 1.

u _{p 1} 3u _p 2 p 3 3p 2 p 3. Or 3 p 2p 3 p 3 p 1. Ainsi, u _{p 1} p 1.

Conclusion : pour tout entier naturel n, u n n.

b. pour tout n de , u _n n et lim

n

n donc, par comparaison, lim

n

u _n . 3. Soit n un entier naturel.

u _{n 1} u _n 3u _n 2 n 3 u _n 2u _n 2 n 3 2 ( ^u n n ) 3.

D après la question 2a, u n n 0 donc 2 ( ^{u n n} ) ^{3 3} 0. La suite ( ) ^{u n} est donc croissante.

4. Soit la suite (v n ) définie, pour tout entier naturel n, par v _n u _n n 1.

a. Soit n un entier naturel.

v _{n 1} u _{n 1} ( n 1) 1 3 u _n 2n 3 n 1 1 3u _n 3n 3 3 ( ^u n n 1 ) 3v _n . La suite ( ) ^{v n} est donc géométrique de raison 3 et de 1 ^er terme v 0 u n 0 1 1.

b. Pour tout n de , on a v n 1 3 ⁿ 3 ⁿ et u n v n n 1 3 ⁿ n 1.

5. Soit p un entier naturel non nul.

a. lim

n

u n donc, pour tout entier p, il existe un entier n 0 tel que, pour tout n n 0 , u n 10 ^p .

On s’intéresse maintenant au plus petit entier n 0 .

b. u 3p 3 ^3p 3 p 1 27 ^p 3p 1 27 ^p (car p non nul) donc u 3p 10 ^p . n 0 étant le plus petit entier tel que u n

10 ^p , on a n 0 3p.

c. On a u ₆ 734 10 ³ et u ₇ 2193 10 ³ donc, pour p=3, n ₀ 7.

d. Voici un algorithme qui convient : U0 k0

Tant que U 10 ^p U 3U 2k 3 k k 1

Fin Tant que

II. Soit f la fonction définie sur [1 [ par f( x) x² 1 ln( x).

f est dérivable sur [1 [. Pour tout x 1, f (x ) 2x 1 x 0.

La fonction f est donc croissante sur [1 [ avec f(1) 1² 1 ln(1) 0.

Alors, pour tout x 1, f (x ) f (1), c'est-à-dire x² 1 ln(x) 0.

SUJET B. PREPARER L ENTREE EN PREPA.

I. Soit x un réel.

sin(4x ) sin(2 x 2x ) 2cos(2 x )sin(2x ) et

sin(3x ) sin( x 2x ) sin( x)cos(2 x) sin(2 x)cos( x) sin( x)(2 cos² x 1) 2sin(x )cos² x 4sin( x)cos²( x) sin( x )

Soit (E) l équation sin(4 x) sin(3 x) sin( x).

(E )  2cos(2 x)sin(2 x) 4sin(x )cos²( x) sin( x) sin(x ) (E )  2cos(2 x)sin(2 x) 2sin( x)(2cos²( x) 1) 0 (E )  2cos(2 x)sin(2 x) sin( x)cos(2 x) 0 (E )  2cos(2x )(sin(2x ) sin(x )) 0

(E )  cos(2x ) 0 ou sin(2 x) sin( x) (E )  2x

2 2k ou 2x= x+2k ou 2x x+2k avec k entier (E )  x

4 k ou x 2 k

3 ou x= +2k avec k entier Ainsi, S



 



 

2k 4 k 2k

3 ,k en tier

II. Soit f une fonction dérivable sur ]0 [ telle que, pour tous réels a et b de +*, f (a b) f( a) f( b) [1].

1. f(1 1) f(1) f(1) donc f (1) 2 f(1), c'est-à-dire f(1) 0.

2. Soit a un réel strictement positif et soit g la fonction définie sur ]0 [ par g(x ) f( a x) a. f est dérivable sur ]0 [ et a 0 donc g est dérivable sur ]0 [.

Soit x 0. g (x) af (a x).

D autre part, pour tout x 0, g( x) f ( a) f( x) et donc g ( x) f ( x) (f (a ) est une constante).

Ainsi, pour tout x 0, f ( x) af ( a x).

b. Pour tout x 0 et pour tout a 0, on a f ( x) af ( ax).

En particulier, pour x 1 : pour tout a 0, f (1) af (a), c'est-à-dire f ( a) f (1) a . Ainsi, il existe une constante réelle k f (1) telle que : pour tout a>0, f '(a) k

a.

3. On admet le théorème suivant :

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que, pour tout x de I, f′(x) g′(x). Alors, il existe un réel c tel que, pour tout x de I, f(x) g(x) c.

Soit f une fonction vérifiant la propriété [1]. On a montré qu il existe une constante k telle que, pour tout x 0, f ( x) k

x .

Soit g la fonction définie sur ]0 [ par g( x) k ln(x ). g est dérivable sur ]0 [ et pour tout x 0, g (x ) k

x f (x). Ainsi, d après le th, il existe une constante réelle c telle que, pour tout x 0, f(x ) g (x ) x , c'est-à-dire f (x ) kln( x ) c .

Les fon ctions vérifiant [1] s ont de la forme x kln(x) c où k et c sont des réels.

Ces fonctions vérifient-elles toutes [1] ?

Soit f une telle fonction et soient a et b deux réels strictement positifs.

f(ab ) kln(a b ) c k(ln( a) ln( b)) c kln( a) kln( b) c d autre part, f( a) f( b) kln( a) kln( b) 2 c

f vérifie [1] ssi c 2c ssi c 0

Conclusion : les fonctions vérifiant [1] sont les fonctions définies sur ]0 [ par f(x) kln(x) où

k est un réel.