() () () () () DEVOIR A LA MAISON N°1. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°1. TS2.

Pour le lundi 11 septembre 2017.

I. ( ) ^u

n

est la suite définie pour tout n de par u

0

1 et u

n 1

1

3 u

n

3.

1. Calculer u

1

et u

2

. La suite est-elle arithmétique ? géométrique ?

2. Compléter l algorithme suivant qui demande la valeur de n et calcule et affiche u

n.

Saisir n

Affecter à N la valeur …..

Affecter à U la valeur …..

Pour i allant de 1 à …..

Affecter à U la valeur ……

Affecter à k la valeur ……

Fin Pour Afficher …..

3. Comment modifier l algorithme précédent pour qu il affiche tous les termes de la suite jusqu à u

n

(u

0

,u

1

,u

2

…u

n

)?

4. Pour tout n de , on pose v

n

u

n

9 2 .

a. Montrer que la suite ( ) ^v

n

est géométrique.

b. Exprimer v

n

puis u

n

en fonction de n.

5. Calculer u

n 1

u

n

et en déduire le sens de variation de la suite ( ) ^u

n

. 6. On admet que lim

n

u

n

4,5. Ecrire un algorithme qui permet de déterminer la 1ère valeur de n pour laquelle on a u

_n

4,499.

II.

( ) ^u

ⁿ

est une suite géométrique de 1er terme u

0

non nul et de raison non nulle q  1.

Pour tout n de , on pose v

n

u

n

u

n 1

et w

n

u

n

u

n 1

. 1. Montrer que pour tout n de , v

_n

 0.

2. On pose, pour tout n de : t

_n

w

n

v

n

. Montrer que la suite ( ) ^t

n

est géométrique.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°1. TS

I.

1. u

1

10 3 et u

2

37 9 . u

1

u

0

7

3 et u

2

u

1

7

9 donc la suite n est pas arithmétique.

u

1

u

₀

10

3 et u

2

u

₁

37

30 . donc la suite n est pas géométrique.

2.

Saisir n

Affecter à U la valeur 1 Pour i allant de 1 à n Affecter à U la valeur 1

3 U 3 Fin Pour

Afficher U

3. Pour que l algorithme affiche tous les termes de la suite jusqu à u

n

, il faut déplacer la ligne Afficher U avant la ligne Fin Pour et ajouter Afficher U après la ligne 2 pour afficher U

₀

: Saisir n

Affecter à U la valeur 1 Afficher U

Pour i allant de 1 à n Affecter à U la valeur 1

3 U 3 Afficher U

Fin Pour

4. Pour tout n de , on pose v

n

u

n

9 2 . a. Soit n un entier naturel.

v

n 1

u

n 1

9 2

1

3 u

n

3 9 2

1 3 u

n

3 2

1 3  

  u

n

9 2

1 3 v

n

. La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc géométrique de raison 1

3 et de 1

^er

terme v

0

u

0

9

2 1 9

2 7 2 b. Pour tout entier naturel n, v

n

7 2  

  1 3

n

et u

n

v

n

9 2

9 2

7 2  

  1 3

n

. 5. Soit n un entier naturel.

u

_{n 1}

u

_n

9 2

7 2  

  1 3

n 1

9

2 7 2  

  1 3

n

7 2  

  1 3

n

 

  1

3 1 = 2 3

7 2  

  1 3

n

7

3  

  1

3

ⁿ

0 donc la suite ( ) ^u

ⁿ

est croissante.

6.

Affecter à k la valeur 0 Affecter à U la valeur 1 Tant que U<4,499

Affecter à U la valeur 1

3 U 3 Affecter à k la valeur k 1 Fin Pour

Afficher k

II. Plus dur.

1. Soit n un entier naturel.

u

n 1

qu

n

et u

n

u

0

q

ⁿ

.

u

0

et q sont non nuls donc u

n

est non nul.

v

n

u

n

u

n 1

u

n

qu

n

u

n

(1 q ).

q  1 donc 1 q  0 ; d autre part, u

n

0 donc v

n

u

n

(1 q )  0.

2. Soit n un entier naturel.

t

n 1

w

n 1

v

_{n 1}

u

n 1

u

n 2

u

n1

u

n 2

t

n 1

q u

n

q u

n 1

q u

_n

q u

_{n 1}

q ²u

n

u

n 1

q ( ^u

ⁿ

^u

^{n 1}

)

t

n 1

q u

n

u

n 1

u

n

u

n 1

q w

n

v

n

qt

n

.

La suite ( ) ^t

ⁿ

est donc géométrique de raison q.