() DEVOIR A LA MAISON N°11. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°11. TS2.

Pour le mercredi 13 janvier 2015.

I. Soit f la fonction définie sur ]0 ] par f( x) sin(x )

x et soit g la fonction définie sur ]0 ] par g( x) xcos( x) sin( x).

1. Construire le tableau de variation de la fonction g.

2. Déterminer le signe de g( x) sur ]0 ].

3. Rappeler la limite de f en 0.

4. Construire le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ].

II. On note ( E) l équation cos(2 x) 2sin( x ) 3 1

2 avec x 

 

  0 2 .

1. Sans la résoudre, montrer que l équation (E ) admet au moins une solution dans l intervalle.

2. Résoudre (E ) dans .

Aides : cos(2x ) cos(x x ) … poser X sin(x)

calculer ( ^{2 2 3} ) ^²

DEVOIR A LA MAISON N°14. TS2.

Pour le mercredi 13 janvier 2015.

I.

1. g est dérivable sur ]0 ].

g ( x) 1cos( x) x( sin( x)) cos( x) xsin( x).

On peut construire le tableau suivant :

x 0 signe de x

signe de sin( x) +

signe de g ( x) variations de g 0

2. D après le tableau de variation précédent, g (x ) 0 pour tout x de ]0 ].

3. D après le cours, lim

x 0

f( x) lim

x 0

sin(x) x 1.

4. f est dérivable sur ]0 ].

f ( x) cos( x) x sin( x)1 x ²

g( x) x ² . On peut construire le tableau suivant :

x 0 signe de g (x )

signe de x ² +

signe de f (x ) variations de f 1

II.

1. (E )  cos(2x) 2sin(x ) 3 1 2 0.

Soit f la fonction définie sur

 

 

0 2 par f( x) cos(2x ) 2sin(x ) 3 1 2 . f est continue sur

 

 

0 2 avec f(0) 3

2 3 et f

 

 

2 3 5

2 et 0 

 

 

3 5

2 3 3

2 donc, d après le th des valeurs intermédiaires, l équation f( x) 0 admet au moins une solution dans

 

 

0 2 . Ainsi l équation cos(2 x) 2sin( x) 2 admet au moins une solution dans l intervalle







0  2 .

2. Pour tout réel x, cos(2 x) cos( x x) cos²( x) sin²(x ) (1 sin²( x)) sin²(x ) 1 2sin²( x) Alors ( E )  2sin²(x ) 2sin(x) 1 3 1

2 0  2sin²( x) 2sin(x ) 3 2 3

2 0

( E) 

 

 X sin( x)

2 X² 2X ^{3 2 3}

2 0

Résolution de 2X² 2X 3 2 3

2 : 16 8 3 0 donc l équation a deux racines.

2 2 3 0 et ( ^{2 2 3} ) ^{² 16 8 3 donc 2 2 3 .}

Les racines de l équation sont donc X ₁ 2 2 2 3 4

2 3

2 et X ₂ 2 2 2 3 4

3

2

Alors ( E )  sin(x ) 2 3

2 1,9 ou sin(x) 3

2  sin( x) 3

2 (car sin(x ) ne peut être inférieur à 1).

(E )  x

3 2k ou x 2

3 2k avec k entier relatif.

S   

 

