() () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°15. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°15. TS2.

Pour le lundi 19 mars 2018.

SUJET A. PREPARER LE BAC.

I. On considère la suite ( ) ^u

définie par u

1 et, pour tout entier naturel n, u

2 u

. 1. On considère l’algorithme suivant :

u1

Pour i de 1 à n u  (2u) Fin pour

a. Donner une valeur approchée à 10

près de la valeur de u à la fin de cet algorithme lorsque n 3 au début de l algorithme.

b. Que permet de calculer cet algorithme ?

c. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l’aide de cet algorithme pour certaines valeurs de n :

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite ( ) ^u

^?

2. On considère la suite ( ) ^v

définie, pour tout entier naturel n, par v

ln ( ) ^u

^ln(2).

a. Démontrer que la suite ( ) ^v

est la suite géométrique de raison ¹

2 et de premier terme v

ln(2).

b. Déterminer, pour tout entier naturel n, l’expression de v

en fonction de n, puis de u

en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u

^.

d. Ecrire un algorithme qui détermine la plus petite valeur de n telle que u

1,999.

II. Soient f et g les fonctions définies sur par f (x)= ex et g (x)= e −x

On note C

la courbe représentative de la fonction f et C

celle de la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel a, on note M le point deC

d’abscisse a et N le point de C

d’abscisse a.

Démontrer que la tangente en M à C

est perpendiculaire à la tangente en N à Cg.

SUJET B. PREPARER L ENTREE EN PREPA.

I. Soient A, B, C, A , B et C six parties d un ensemble E telles que :

A B C , A B A B , B C B C , C A C A , A  A, B  B et C C . Montrer que A A .

II. Soient f et g les fonctions définies sur par f (x)= ex et g (x)= e −x

On note C

la courbe représentative de la fonction f et C

celle de la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel a, on note M le point deC

d’abscisse a et N le point de C

d’abscisse a.

La tangente en M à C

coupe l’axe des abscisses en P, la tangente en N à C

coupe l’axe des abscisses en Q.

1. Démontrer que la tangente en M à C

est perpendiculaire à la tangente en N à Cg.

2.

a. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique (géogébra), représenter la situation pour différentes valeurs de a et faire afficher la longueur PQ . Que peut-on conjecturer ?

b. Démontrer cette conjecture.

n 1 5 10 15 20

Valeur affichée 1,4142 1,9571 1,9986 1,9999 1,9999

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°14. TS2

SUJET A. PREPARER LE BAC.

I. On considère la suite ( ) ^u

définie par u

1 et, pour tout entier naturel n, u

2 u

. 1.

a. Si on prend n 3 au départ :

n i u

3 1

3 1 2

3 2 2 2

3 3

2 2 2

1,8340

u 1,8340 à la fin de l algorithme si n 3 au début.

b. Cet algorithme permet de calculer u

.

c. On peut conjecturer que la suite ( ) ^u

est croissante et converge vers 2.

2. On considère la suite ( ) ^v

définie, pour tout entier naturel n, par v

ln ( ) ^u

ln(2).

a. Soit n un entier naturel.

v

ln ( ^u

) ^{ln(2) ln} ( ^{2 u}

) ln(2) 1

2 ln ( ^2u

) ^ln(2)

1

2 ( ^{ln(2) ln} ( ) ^u

) ^{ln(2) 1}

2 ( ^{ln(2) ln} ( ) ^u

^2ln(2) ) ¹

2 v

. La suite ( ) ^v

est donc suite géométrique de raison ¹

2 et de premier terme v

ln ( ) ^u

ln(2) ln(1) ln(2) ln(2).

b. Soit n un entier naturel.

v

v

 

  1 2

n

ln(2) 2

On a ln ( ) ^u

^{ln(2) ln(2)}

2

donc ln ( ) ^u

^{ln(2) ln(2)}

2

donc u

e

ln(2)

2ⁿ

e

e

ln(2) 2ⁿ

2 e

ln(2) 2ⁿ

c. 2 1 donc lim

n

2

donc lim

n

ln( 2)

2

0 donc lim

n

e

ln(2)

2ⁿ

1 et donc lim

n

u

2 d.

u1 n0

Tant que u 1,999 u  (2u) n n+1 Fin tant que

II. La tangente T à C

en M a pour équation y f ( a)( x a) f (a ), c'est-à-dire y e

(x a ) e

. Son coefficient directeur est e

donc le vecteur u  

  1

e

est un vecteur directeur de cette tangente.

De même la tangente D à C

au point d abscisse a a pour équation y e

( x a) e

et le vecteur v  

  1

e

en est un vecteur directeur.

u . v 1 1 e

e

) 1 e

1 e

0. Les vecteurs u et v sont orthogonaux donc la

tangente en M à C

est perpendiculaire à la tangente en N à Cg.

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°14. TS2

SUJET B. PREPARER L ENTREE EN PREPA.

I. D après l énoncé, A A. Montrons que A A . Soit x un élément de A.

Supposons que x n appartienne pas à A .

x  A donc x  A B . Or A B A B . Ainsi, x  A B . Or x  A par hypothése, donc x  B et, B étant contenu dans B, x  B.

De la même façon, en remplaçant B par C, on a x  C.

x appartient donc à A, à B et à C, c'est-à-dire à A B C. Or A B C . On a donc une contradiction.

x appartient donc à A

On a donc prouvé que AA . On a A A et AA donc A A .

III. Soient f et g les fonctions définies sur par f (x)= ex et g (x)= e −x

On note C

la courbe représentative de la fonction f et C

celle de la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

Pour tout réel a, on note M le point deC

d’abscisse a et N le point de C

d’abscisse a.

La tangente en M à C

coupe l’axe des abscisses en P, la tangente en N à C

coupe l’axe des abscisses en Q.

1. La tangente T à C

en M a pour équation y f ( a)( x a) f (a ), c'est-à-dire y e

(x a ) e

. Son coefficient directeur est e

donc le vecteur u  

  1

e

est un vecteur directeur de cette tangente.

De même la tangente D à C

au point d abscisse a a pour équation y e

( x a) e

et le vecteur v  

  1

e

en est un vecteur directeur.

u . v 1 1 e

e

) 1 e

1 e

0. Les vecteurs u et v sont orthogonaux donc la tangente en M à C

est perpendiculaire à la tangente en N à Cg.

2.

a. On peut conjecturer que PQ est constante, égale à 2.

b. Cherchons les coordonnées de P et Q.

P est le point de T d ordonnée 0. Notons x son abscisse.

On a 0 e

(x a) e

, et donc x a 1 car e

est non nul. Ainsi P(a 1 0).

De même, Q est le point de D d ordonnée 0. Notons x son abscisse.

On a 0 e

(x a ) e

et donc x 1 a car e

est non nul. Ainsi Q (a 1 0).

Alors PQ | ^{a 1 ( a 1)} | | ² | ^2.

La distance PQ est donc constante égale à 2.