DEVOIR A LA MAISON N°9. TS2.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°9. TS2.

Pour le mercredi 16 décembre 2015

I. On considère deux suites de nombres réels (d

_n

) et (a

_n

) définies par d

₀

= 300, a

0

=450 et, pour tout n de É,

 

 ^d

ⁿ⁺¹

⁼ ¹ ₂ ^d

ⁿ

⁺¹⁰⁰

a

n+1

= ¹ 2 d

n

+ ¹

2 a

n

+70 1. Calculer d

1

et a

1

.

2. On souhaite écrire un algorithme qui permet d’afficher en sortie les valeurs de d

_n

et a

_n

pour une valeur entière de n saisie par l’utilisateur.

L’algorithme ci-contre est proposé :

a. Quels nombres obtient-on en sortie de l’algorithme pour n =1 ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question 1. ?

b. Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu’il affiche les résultats souhaités.

3. a. Pour tout entier naturel n, on pose e

n

= d

n

− 200. Montrer que la suite (e

_n

) est géométrique.

b. En déduire l’expression de d

_n

en fonction de n.

c. La suite (d

_n

) est-elle convergente ? Justifier.

4. On admet que pour tout entier naturel n, a

n

=100 n





 1  2

n

+110





 1  2

n

+340

a. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 3, on a 2n

²

> (n + 1)

²

. b. Montrer par récurrence que pour tout entier n supérieur ou égal à 4, 2

ⁿ

Ã n

²

. c. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 4, 0Â100 n





 1  2

n

Â 100

n d. Étudier la convergence de la suite (a

n

)

D ’ après bac

II. Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par les piqûres de moustiques femelles infectées. Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :

 la probabilité qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est de 0, 98 ;

 la probabilité qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0, 01.

On procède à un test de dépistage systématique dans une population « cible ». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle : M l’évènement : « L’individu choisi est atteint du chikungunya » et T l’évènement : « Le test de l’individu choisi est positif »

On notera M Ò (respectivement Ò T ) l’évènement contraire de l’évènement M (respectivement T ).

On note p (avec0 ÂpÂ1) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.

1. a. Construire un arbre de probabilités.

b. Exprimer P (M∩T), P ( ^M∩T ^Ò ) ^{puis P} ^(T ) en fonction de p.

2. Démontrer que la probabilité de M sachant T est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 1] par f ( p)= 98p

97p +1 .

3. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à 0, 95.

Déterminer à partir de quelle proportion p de malades dans la population le test est fiable.

D ’ après bac

(2)

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°9. TS2 I.

1. d

1

= 1

2 300+100=250 et a

1

= 1

2 300+ 1

2 450+70=445.

2. a. En entrant n =1, on obtient D=250 et A=420. On n’obtient pas la valeur correcte de a

1

. b. Traitement : Pour k variant de 1 à n

F prend la valeur D

D prend la valeur D/2+100 A prend la valeur A/2 + F/2 + 70 Fin Pour

3. a. Soit n un entier naturel

e

n+1

=d

n+1

200=0,5d

n

+100200=0,5d

n

100=0,5 ( ^d

ⁿ

²⁰⁰ ) ^=0,5e

ⁿ

^.

e

n+1

=0,5e

n

donc la suite ( ) ^e

n

est géométrique de raison 1

2 et de 1er terme e

0

= d

0

200=100.

Pour tout entier naturel n, on pose e

n

= d

n

− 200. Montrer que la suite (e

n

) est géométrique.

b. Pour tout n de É, e

n

=100×





 1  2

n

et d

n

= e

n

+200=100×





 1  2

n

+200

c. 1< 1

2 <1 donc lim

n↔+õ

 

 1  2

n

=0. Alors lim

n↔+õ

d

n

=200 : la suite ( ) ^d

n

est convergente vers 200.

5. On admet que pour tout entier naturel n, a

n

=100 n





 1  2

n

+110





 1  2

n

+340 a. Soit n un entier, nÃ3.

M éthode 1 :

2 n²(n +1)²= n²2 n1= n²2n +12=(n 1)²2.

D’autre part, n Ã3 donc n 1Ã 2 et (n 1)²Ã4. Ainsi ( n1)²2>0.

On a donc 2 n ²( n+1)²>0, c'est-à-dire 2n²>(n+1)².

Méthode 2 :

2 n²(n +1)²= n²2 n1. Δ=8 ; n

1

=1+ 2 et n

2

=1 2 . On a le tableau de signes suivant :

n õ 1 2 1+ 2 3 + õ

n²2n 1 + +

Pour n Ã3, 2n ²( n+1)²>0, c'est-à-dire 2n²>(n+1)².

b. Initialisation : pour n

0

=4 : 2

⁴

=16 et 4²=16. 16 Ã16 donc la propriété est vraie pour n

0

=4.

Hérédité : soit p un entier tel que p Ã4 et 2

^p

Ãp ². Montrons que 2

^p+1

Ã( p+1)².

2

^p⁺¹

=2×2

^p

et 2

^p

Ãp² donc 2

^p+1

Ã2 p². Or, d’après le a), 2p ²>(p +1)².

Alors 2

^p+1

>( p+1)².

Conclusion : pour tout entier n supérieur ou égal à 4, 2

ⁿ

Ã n

²

. c. Soit n un entier supérieur ou égal à 4.

n >0 donc 100n





 1  2

n

>0.

D ’aut re part , 2

ⁿ

Ãn ² >0 donc 1 2

ⁿ

Â 1

n² car la fonction inverse est décroissante sur ]0;+õ [ donc 100n ×





 1  2

n

Â100 n× 1

n² car 100 n>0 donc 100n





 1  2

n

Â 100

n

(3)

Ainsi, pour tout entier n supérieur ou égal à 4, 0 Â100n





 1  2

n

Â 100 n d. a

n

=100n





 1  2

n

+110





 1  2

n

+340 donc, d’après ce qui précède, pour tout entier n Ã4,

110  

 1  2

n

+340 Âa

n

Â 100

n +110





 1  2

n

+340

lim

n↔+õ

100 n =0 et -1< 1

2 <1 donc lim

n↔+õ

 

 1  2

n

=0.

On a donc lim

n↔+õ

110 



 1  2

n

+340 = lim

n↔+õ

100 n +110





 1  2

n

+340 =340.

Alors, d’après le th des gendarmes, lim

n↔+õ

a

n

=340 : la suite ( ) ^a

n

converge vers 340.

II.

1. a. On a l’arbre suivant :

b. P( M ∩T)=0,98p ; P ( M ^Ò ∩T ) =0,01(1 p)

P(T)= P(M ∩ T) +P ( M∩ ^Ò T ) = 0,98p+ 0,01(1 p) = 0,97p +0,01 2. P

_T

(M )= P( M ∩T)

P( T) = 0,98p

0,97p +0,01 = 98p 97p +1 3. Le test est fiable lorsque P

_T

( M)>0,95.

Soit f la fonction définie sur [0;1] par f (x )= 98x 97x +1 . f est dérivable sur [0;1]. f ′( x)= 98

(97x +1)

²

>0 donc f est strictement croissante sur [0;1].

98x

97 x+1 =0,0598x =0,05(97x+1) x= 19 117

f est strictement croissante sur [0;1] donc f ( x)>0,05 ssi x > 19 117 . C’est à partir d’une proportion de 19

117 ó16,24 % de malades que le test est fiable.

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