M1 MEEF 2nd degr´ e, CAPES de Math´ ematiques Ecrit blanc du 10 octobre 2016 ´
Dur´ ee : 2h
Une attention particuli`ere sera port´ee lors de la correction `a la lisibilit´e de la copie et `a la qualit´e de la r´edaction. Il est en particulier fondamental, lorsque l’on utilise un r´esultat du cours, de l’´enoncer clairement et de v´erifier que l’on est bien dans son champ d’application !
Par ailleurs, si un(e) candidat(e) d´etecte ce qu’il/elle pense ˆetre une erreur d’´enonc´e, il/elle le signale tr`es clairement sur sa copie, propose une correction et poursuit l’´epreuve en cons´e- quence.
Ce sujet, compos´e de trois exercices ind´ependants les uns des autres, comporte 3 pages num´erot´ees de 1 `a 3.
Exercice 1.
1. D´emontrer la formule du binˆome de Newton (qui fournit une autre ´ecriture de (a + b)n).
2. Pour cette question, la d´emonstration de votre r´esultat est attendue ! Pour tout entier n ≥ 1 et tout r´eel q, d´eterminer la valeur de la somme Pn
k=0qk.
Etudier la convergence des s´´ eries de terme g´en´eral (qn)n≥0et (nqn)n≥0et donner la valeur de leur somme.
3. Application : crit`ere d’Abel pour les s´eries enti`eres. Soit (an)n≥0 une suite de r´eels.
Montrer que si pour un certain r > 0, la suite (anrn) est born´ee, alors, pour tout x ∈] − r, r[, la s´erie de terme g´en´eral (anxn)n≥0 est convergente.
4. Soit f la fonction d´efinie sur R par f : x 7→ 1/(1 + x2).
D´eterminer une suite (an) de r´eels tels que, dans un voisinage de 0, f (x) = P
n≥0anxn. Pour quelles valeurs de x la s´erie obtenue est-elle convergente ? Comparer avec l’ensemble de d´efinition de f .
Exercice 2. Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un ˆetre humain `a l’autre par les piqˆures de moustiques femelles infect´ees.
Un test a ´et´e mis au point pour le d´epistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caract´eristiques suivantes :
— la probabilit´e qu’une personne atteinte par le virus ait un test positif est de 0,98 ;
— la probabilit´e qu’une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de 0,01.
On proc`ede `a un test de d´epistage syst´ematique dans une population « cible ». Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle :
— M l’´ev´enement : « L’individu choisi est atteint du chikungunya »
— T l’´ev´enement : « Le test de l’individu choisi est positif »
On note p ∈ [0, 1] la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible.
1. Dresser un arbre de probabilit´e et d´eterminer P (T ) en fonction de p.
2. Expliciter la probabilit´e de M sachant T sous la forme d’une fonction f de p et ´etudier les variations de cette fonction.
3. On consid`ere que le test est fiable lorsque la probabilit´e qu’une personne ayant un test positif soit r´eellement atteinte du chikungunya est sup´erieure `a 0, 95. `A partir de quelle proportion p de malades dans la population le test est-il fiable ?
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4. On s´electionne al´eatoirement n personnes (parmi un grand nombre d’individus). Quelle est la loi du nombre de personnes atteintes du chikungunya ? Et celle du nombre de personnes atteintes du chikungunya et ayant une r´eponse positive au test ?
Exercice 3. On consid`ere une fonction f : [0, 1] → R. On note, pour tout entier n ≥ 1,
Rn(f ) = 1 n
n−1
X
k=0
f k n
et Sn(f ) = 1 n
n
X
k=1
f k n
Partie A
On se donne une fonction f positive et d´ecroissante sur [0, 1].
On suppose dans cette partie qu’on ne connaˆıt rien sur l’int´egration des fonctions, mais que l’on sait d´eterminer l’aire, not´ee A, du domaine de R2 d´elimit´e par l’axe des abscisses et la courbe d’´equation y = f (x) d’une part, et par les droites d’´equation x = 0 et x = 1 d’autre part.
1. Calculer, pour tout n ≥ 1, Rn(f ) − Sn(f ).
2. Justifier, pour tout n ≥ 1, la double in´egalit´e : attention l’´enonc´e initial ´etait erron´e Rn(f )≥A≥Sn(f )
3. Conclure que les suites (Rn(f ))n et (Sn(f )) sont convergentes et admettent la mˆeme limite, que l’on note R1
0 f (t) dt.
4. On note F la fonction d´efinie sur [0, 1] par F (x) =
Z x 0
f (t) dt.
Toujours avec des consid´erations d’aire, expliciter, pour tout x ∈ [0, 1] et tout h tel que x + h ∈ [0, 1], un encadrement de F (x + h) − F (x). En d´eduire que, si f est continue, F est d´erivable, de d´eriv´ee f .
Partie B
On suppose dans cette partie que f est continue sur [0, 1]. On pourra utiliser sans le re- d´emontrer le th´eor`eme de Heine : toute fonction f continue sur un intervalle I compact est uniform´ement continue, c’est-`a-dire que, pour tout ε > 0, il existe un r´eel δ > 0 tel que, pour tout (x, y) ∈ I2 v´erifiant |x − y| ≤ δ, on a |f (x) − f (y)| ≤ ε.
1. Soit ε > 0.
(a) Montrer qu’il existe N tel que pour tout n ≥ N , pour tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, on a pour tout t ∈ [k/n, (k + 1)/n], |f (t) − f (k/n)| ≤ ε.
(b) En d´eduire, pour tout n ≥ N et tout k ∈ {0, . . . , n − 1}, une majoration de
Z (k+1)/n k/n
(f (t) − f (k/n)) dt
2. Conclure que (Sn(f ))n et (Rn(f ))n convergent toutes deux vers R1
0 f (t) dt.
3. On suppose maintenant que f est de classe C1 sur [0, 1].
(a) Justifier l’existence d’un majorant M de |f0| et montrer que pour tout n ≥ 1, tout k ∈ {0, . . . , n − 1} et tout t ∈ [k/n, (k + 1)/n], |f (t) − f (k/n)| ≤ M t − kn
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(b) En d´eduire que, pour tout n ≥ 1,
Z 1 0
f (t) dt − Sn(f )
≤ M 2n.
(c) Un cas particulier. On consid`ere la fonction f : x 7→ x, d´efinie sur [0, 1]. D´eterminer, pour tout n ≥ 1, les valeurs de Sn(f ), Rn(f ). Calculer ´egalement la valeur de M et celle de R1
0 f (t) dt. Que pensez-vous de l’in´egalit´e obtenue `a la question pr´ec´edente ? Partie C
On suppose pour cette partie que la fonction f est d´ecroissante et continue sur l’intervalle ]0, 1] et on note, pour tout x ∈]0, 1],
I(x) = Z 1
x
f (t) dt.
On suppose que I admet une limite finie en 0+ et que la limite lorsque x tend vers 0+ de xf (x) est nulle.
On note, pour tout n ≥ 1, attention : ce n’est pas le mˆeme Rn(f ) que dans la partie A Rn(f ) = 1
n
n
X
k=1
f k n
1. Montrer que, pour tout n ≥ 1 et tout k ∈ {1, . . . , n}, on a 1
nf k + 1 n
≤
Z (k+1)/n k/n
f (t) dt ≤ 1 nf k
n
2. En d´eduire que, pour tout n ≥ 1, Rn− 1
nf 1 n
≤ I 1 n
et que
Rn− 1
nf (1) ≥ I 1 n
3. Montrer que (Rn) converge et pr´eciser sa limite.
4. Le but de cette question est d’appliquer le r´esultat ci-dessus `a la fonction f d´efinie sur ]0, 1] par
f (x) = x2− 1
4 −1
2ln(x) (a) Montrer que, pour tout n ≥ 1,
n
X
k=1
k2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
(b) Montrer qu’une primitive de la fonction ln sur R+∗ est la fonction x 7→ x ln x − x. En d´eduire que l’int´egrale sur ]0, 1] de ln est convergente.
(c) V´erifier que la fonction f propos´ee satisfait aux conditions requises pour cette partie C.
(d) Montrer que pour tout n ≥ 1,
Rn(f ) = (n + 1)(2n + 1) 24 n2 − 1
4− 1
2nln n!
nn
(e) D´emontrer alors que la suite ((n!)1/n/n)n≥1 est convergente et donner sa limite.
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