() () DEVOIR A LA MAISON N°3. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°3. TS1.

Pour le mercredi 2 octobre 2019.

I. La suite ( ) ^u

n

est définie par :



  u



  u

_

 

u

_n

 u

n

  pour n   . 1. Calculer u

2

; u

3

; u

4

et u

5

.

2. On pose v

_p

u

2p

1 et w

_p

u

2p 1

.

a. Quelle est la nature de la suite ( ) ^v

ⁿ

? Justifier.

b. Exprimer v

_p

en fonction de p.

c. Utiliser un raisonnement par récurrence pour exprimer w

_p

en fonction de p.

3. Exprimer u

_n

en fonction de n suivant les valeurs de n.

II. Soit f la fonction définie sur \{ 1} par f( x) 2x ² x 3 x 1

Déterminer la position relative de la courbe représentant f et de la droite ( d) d équation y x 1.

III. On se place dans un repère orthonormal. Soit (E ) l ensemble d équation x ² y² 2 x 3 y 23 4 0.

Justifier que (E ) est un cercle et déterminer son centre et son rayon. (Voir cours de 1ère)

Rappel : le cercle de centre I(a b ) et de rayon R a pour équation (x a )² (y b)² R².

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 3. TS1.

I.

1. u

2

=2 ; u

3

1 ; u

4

8 ; u

5

1.

2.

a. Soit p un entier naturel.

v

p 1

u

2(p 1)

1 u

2p 2

1 3 u

2p

2 1 3 u

2p

3 3 ( ^u

^2p

¹ ) ^{3 v}

^p

^.

La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc géométrique de raison 3 et de premier terme v

0

u

0

1 0 1 1.

b. Pour tout n de : v

n

v

0

q

ⁿ

3

ⁿ

. c. On a w

0

u

1

1 ; w

1

u

3

1 ; w

2

u

5

1.

On peut donc conjecturer que pour tout n de , w

_n

1.

Prouvons-le par récurrence :

Initialisation : pour n

0

0 : w

₀

1 donc la propriété est vraie pour n

0

0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que que w

p

1. Montrons que w

p 1

1.

w

p 1

u

2(p 1) 1

u

2p 3

3u

2p 1

2 3w

p

2. Or on a w

p

1 donc w

p 1

3 1 2 1.

Ainsi la propriété est héréditaire.

Conclusion : Pour tout n de , w

n

1.

3. Soit n un entier naturel.

Si n est pair, on a n 2 n 2 où n

2 est un entier et donc u

n

v

n 2

1 3

n

2

1.

De même, si n est impair, on a n 2 n 1

2 1 et donc u

n

w

n 1 2

1.

Ainsi la suite ( ) ^u

ⁿ

est définie par : u

n





 

^n/

  si n pair

 si n impair .

II. Soit f la fonction définie sur \{ 1} par f( x) 2x ² x 3 x 1 Soit x un réel différent de 1.

f( x) (2 x 1) 2 x² x 3 x 1

(x 1)( x 1) x 1

2 x² x 3 x ² 2x 1 x 1

x² x 4 x 1 . Signe de x² x 4 : 17 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 17

2 et 1 17

2 et il est du signe de a sauf entre ces racines.

On a donc le tableau suivant :

x 1 17

2 1 1 17

2 + x ² x 4

x 1 f( x) ( x 1)

Posi tion relati ve C

_f

en dessous de (d )

C

_f

au dessus de (d )

C

_f

en dessous de (d )

C

_f

au dessus de ( d) III. x² y² 2 x 3 y 23

4 0  x² 2x y² 3y 23

4

 (x 1)² 1

 

  y ³

2

2

9

4 23

4

 (x 1))

²

 

  y ³

2

2

9

 (x 1))

²

 

  y ³

2

2

3² Ainsi, ( E) est le cercle de centre I

 

  1 ³

2 et de rayon 3.