() () () () () () () () DEVOIR A LA MAISON N°3. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°3. TS1.

Pour le vendredi 23 septembre 2016.

I. D après bac.

On considère la suite ( ) ^{u n} définie sur par

 

 u ₀ 2 u n 1

1

2 u n ² 3u n

3 2

1. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation de la suite ( ) ^u n . Pour tout n de , on pose v n u n 3.

2. Montrer que pour tout entier naturel n, v n 1

1 2 v n ².

3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1 v n 0.

4. Déduire des questions précédentes le sens de variation de la suite ( ) ^{v n} puis celui de la suite ( ) ^{u n .}

II. Déterminer les limites suivantes : 1. lim

n ( ^{n 4 3n 3 5n 1} )

2. lim

n

 

  2 n ² 5n

n ³ 1 3. lim

n

3 ( 1) ⁿ n 3

4. lim

n

2 ⁿ 4

 

  1 3

n

5. lim

n

n² ^{n 2}

n² n 3

III. Soit ( ) ^{u n} une suite qui converge vers 5 et telle que, pour tout n de , u n 5. Déterminer la limite de la suite ( ) ^v n définie pour tout n de par v _n u n ²

u n 5 . IV. Prise d initiative.

On considère un carré de côté 1. On colorie successivement les carrés construits sur la diagonale du carré de côté 1 de façon à ce que le côté de chaque carré soit égal à la moitié du côté du carré précédent. Pour tout entier naturel n non nul, on note u n l aire de la surface coloriée à l étape n. Quelle est la limite de la suite

( ) ^{u n ?}

u ₁ aire colorée

u ₂ aire colorée u ₃ aire colorée u ₄ aire colorée

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°3. TS1

I. D après bac.

1. La suite ( ) ^u n semble croissante.

2. Soit n un entier naturel. v n 1 u n 1 3 1

2 u n ² 3u n

3

2 3 = 1

2 u n ² 3u n

9 2 . D autre part, 1

2 v n ² 1

2 ( ^{u n 3 ²} ) ¹

2 ( ^{u n ² 6 u n 9} ) ¹

2 u n ² 3u n

9 2 Ainsi, pour tout n de , v n 1

1 2 v n ².

3. Initialisation : pour n 0 0 : v 0 u 0 3 2 3 1 donc 1 v 0 0.

Hérédité : soit p un entier supérieur ou égal à 0 tel que 1 v p 0.

Montrons que 1 v p 1 0.

1 v p 0 donc 0 v p ² 1 car la fonction carré est décroissante sur [ 1 0].

donc 0 1

2 v _p ² 1

2 car 1

2 0

donc 1

2 v _{p 1} 0

donc 1 v p 1 1 car 1 1 2

Conclusion : pour tout entier naturel n, 1 v _n 0.

4. Soit n un entier naturel.

v _{n 1} v _n 1

2 v _n ² v _n v _n

 

  1

2 v _n 1 . 1 v n 0 donc 1

2 1

2 v n 0 donc 1 2

1

2 v n 1 1 donc

 

  1

2 v n 1 0 et 1 v n 0 donc v n 0

Alors v n 1 v n v n  

  1

2 v n 1 0. La suite ( ) ^{v n} est donc croissante.

Pour tout n de , u n 1 u n ( ^{v n 1 3} ) ( ^{v n 3} ) ^{v n 1 v n} 0 donc la suite ( ) ^{u n} est croissante.

II. Déterminer les limites suivantes : 1. lim

n ( ^{n 4 3n 3 5n 1} ) ^lim

n

n ⁴ .

2. lim

n

 

  2 n ² 5n

n ³ 1 lim

n

2n ²

n ³ lim

n

2 n 0.

3. Pour tout n de , 1 ( 1) ⁿ 1 donc 3 1

n 3 3 ( 1) ⁿ

n 3 3 1

n 3 lim

n

3 1

n 3 lim

n

3 1

n 3 3 donc, d après le th des gendarmes, lim

n

3 ( 1) ⁿ n 3 3 4. 2 1 donc lim

n

2 ⁿ + et 1 1

3 1 donc lim

n

 

  1 3

n

0.

Alors lim

n

2 ⁿ 4

 

  1 3

n

.

5. Pour tout n de , n² ^{n 2}

n² n 3 n ² et lim

n

n² donc, d après les th de comparaison, lim

n

n ² ^{n 2}

n ² n 3 .

III. lim

n

u _n ² 25 lim

n

u n 5=0 et, pour tout n de , u n 5 0 car u n 5.

Alors lim

n

v n

IV. Prise d initiative.

On a u 1

1 4 ; u 2

1 4

1 16

5 16 ; u 3

1 4

1 16

1 64

21 64 ; u 5

21 64

1 256

85 256 … Soit a n la longueur du côté du n ^ième carré. On a a 1

1

2 et, pour tout n de , a n 1

1

2 a n . La suite ( ) ^{a n est}

géométrique et, pour tout n de , a n

1 2  

  1 2

n 1

 

  1 2

n

. On a donc, pour tout n de , u n  

  1 2

2

 

 

 

  1 2

2 2

 

 

 

  1 2

3 2

 

 

 

  1 2

4 2

…  

 

 

  1 2

n 2

Or, pour tout k de ,

 

 

 

  1 2

k 2

 

  1 2

2k

 

 

 

  1 2

2 k

 

  1 4

k

On a donc, pour tout n de , u n

1 4  

  1 4

2

 

  1 4

3

 

  1 4

4 …

 

  1 4

n 1

4 1  

  1 4

n 1

1 ¹

4

1  

  1 4

n 1

3

1 1

4 1 donc lim

n

 

  1 4

n

0 donc lim

n

u _n 1

3 .