DEVOIR A LA MAISON N°12. TS1.
Pour le mercredi 5 février 2020.
I.
Partie A
Voici deux courbes C1 et C2 qui donnent pour deux personnes P1 et P2 de corpulences différentes la concentration C en g.L 1 d’alcool dans le sang (taux d’alcoolémie) en fonction du temps t en heure après ingestion de la même quantité d’alcool. L’instant t=0 correspond au moment où les deux individus ingèrent l’alcool.
1. La fonction C est définie sur l’intervalle [0;+∞[ et on note C′ sa fonction dérivée. À un instant t positif ou nul, la vitesse d’apparition d’alcool dans le sang est donnée par C′(t).
Déterminer graphiquement à quel instant cette vitesse est maximale.
2. On dit souvent qu’une personne de faible corpulence subit plus vite les effets de l’alcool. Sur le graphique précédent, identifier la courbe correspondant à la personne la plus corpulente. Justifier.
3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(t)=At e-t où A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
a. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f. Déterminer f ′(0).
b. L’affirmation suivante est-elle vraie ? « À quantité d’alcool absorbée égale, plus A est grand, plus la personne est corpulente.»
Partie B. Un cas particulier
Paul, étudiant de 19 ans de corpulence moyenne et jeune conducteur, boit deux verres de rhum. La concentration C d’alcool dans son sang est modélisée en fonction du temps t, exprimé en heures, par la fonction f définie sur [0;+∞[
par f(t)=2t e-t.
1. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle [0;+∞[.
2. À quel instant la concentration d’alcool dans le sang de Paul est-elle maximale ? Quelle est alors sa valeur ? Arrondir à 10−2 près.
3. Déterminer la limite de f en Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Paul veut savoir au bout de combien de temps il peut prendre sa voiture. On rappelle que la législation autorise une concentration maximale d’alcool dans le sang de 0, 2 g.L−1 pour un jeune conducteur.
a. Démontrer qu’il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f
( )
t1 f( )
t2 0,2.b. Quelle durée minimale Paul doit-il attendre avant de pouvoir prendre le volant en toute légalité ? Donner le résultat arrondi à la minute la plus proche.
5. La concentration minimale d’alcool détectable dans le sang est estimée à 5×10−3g.L−1.
a. Justifier qu’il existe un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.
b. On donne l’algorithme suivant où f est la fonction définie par f(t) 2te t. t 3,5
p 0,25 C 0,21
Tant que C 5 10 3 t t p C f(t) Fin Tant que
Que représente la valeur de t obtenue à la fin de cet algorithme ?
II. La suite (un) est définie pour tout entier naturel n par u0 2 et un 1 2 3 un 2 1. Démontrer que, pour tout n de , 1 un 2
2.
a. Prouver que un 1 un
1 un²
un 2
b. Déterminer alors le sens de variation de (un) 3. Démontrer que la suite (un) converge.
4. On admet que la limite L vérifie l’égalité L 2 3
L 2. Calculer L.
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 12. TS1.
I.
Partie A
1. La vitesse est maximale lorsque le coefficient directeur C(t) de la tangente est maximal, c'est-à-dire lorsque la tangente est la plus proche de la verticale. Graphiquement, il semble que cette vitesse est maximale à l instant t 0.
2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C1 en O(0 0) est supérieur à celui de la tangente à C2
en O. La courbe qui correspond à la personne la plus corpulente est donc C2.
3. Une personne à jeun absorbe de l’alcool. On admet que la concentration C d’alcool dans son sang peut être modélisée par la fonction f définie sur [0 ∞[ par f(t) At e t où A est une constante positive qui dépend de la corpulence et de la quantité d’alcool absorbée.
a. Pour tout t de +, f (t) Ae t Ate t Ae t(1 t) donc f (0) Ae0 A.
b. Plus A est grand, plus f (0) est grand donc plus la concentration d alcool augmente vite. Ainsi plus A est grand, moins la personne est corpulente : l affirmation est fausse.
Partie B. Un cas particulier
1. f est dérivable sur +. Pour tout réel t 0, on a f(t) 2e t(1 t). On a donc le tableau de signes et variations suivant :
t 0 1 +
f(0) 0 et f(1) 2e 1 2 e1
2 e
2e t + +
1 t +
f (t) +
f(t) 2
e 0
2. La concentration est maximale après 1 heure. Cette concentration est alors 2
e 0,74 grammes par litre.
3. lim
t
et
t et f(t) 2t
et 2 et t
donc lim
t f(t) 0. A long terme, la concentration d alcool dans le sang de Paul tendra vers 0 : l alcool finit par s éliminer totalement.
4.
a. f est continue et strictement croissante sur [0 1] avec f(0) 1 ; f(1) 2
e et 0,2[0;2/e] donc l équation f(t) 0,2 admet une unique solution t1 dans [0 1].
De même, l équation f(t) 0,2 admet une unique solution t2 dans ]1 [ Ainsi, il existe deux nombres réels t1 et t2 tels que f
( )
t1 f( )
t2 0,2.b. On a t1 0,112 et t2 3,577. Paul doit donc attendre 3,577 heures, c'est-à-dire environ 3h35min pour reprendre le volant.
5.
a. lim
t
f(t) 0 donc il existe un réel T 0 tel que, pour tout t T, f(t) 5 10 3. Il existe donc un instant T à partir duquel la concentration d’alcool dans le sang n’est plus détectable.
b. On obtient :
Initialisation Etape 1 Etape 2
p 0,25
t 3,5 3,75 4
C 0,21 0,18 0,15
L algorithme affiche le temps nécessaire à partir de 3h30 pour que l alcool ne soit plus détectable dans le sang.
II.
1. Initialisation : pour n 0 : u
02 donc 1 u
02.
Hérédité : soit p un entier naturel tel que 1 u
p2. Montrons que 1 u
p 12.
1 u
p2 donc 3 u
p2 4 donc 1
3
1 u
p2
1
4 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 [.
donc 1 3 u
p2
3
4 car 3 0 donc 1 2 3
u
p2 5
4 2
donc 1 u
p 12
Conclusion : pour tout n ,
2. Soit n un entier naturel.
a.
u
n 1u
n2 3
u
n2 u
n2 u
n4 3 u
n² 2 u
nu
n2
1
un² 2
unb.
