DEVOIR A LA MAISON N°5. TS1.
Pour le mercredi 16 octobre 2019.
I. f et g sont les fonctions définies par f ( x) 2 x² 4x 16
x 2 et g( x) x 9.
Déterminer les ensembles de définition de fg et g f.
II. Dét erminer, en soi gnant la rédaction, lim
x
x
45 x 1 2 . III. Déterminer la fonction homographique f telle que lim
x 4
f(x ) et t ell e que la tangente à la courbe de f au point d abscisse 1 a pour coefficient directeur 4
3 et pour ordonnée à l origine 1 3 . IV. On considère la suite de nombres complexes ( ) z
ndéfinie pour tout entier n 0 par
z
0diff érent d e 0 et 1 z
n 11 1
z
n. 1.
a. Dans cette question, z
02. Déterminer les 7 premiers termes de la suite ( ) z
n. Utiliser la calculatrice et ne pas détailler les calculs.
b. Dans cette question, z
0i. Donner sous forme algébrique les 7 premiers termes de la suite
( ) z
n. Utiliser la calculatrice et ne pas détailler les calculs.
c. Dans cette question, z
0est un complexe différent de 0 et 1 et n est un entier naturel. Que peut- on conjecturer pour la valeur de z
3n? Prouver cette conjecture.
2. Déterminer z
2016dans le cas où z
01 i.
3. Existe-t-il des valeurs de z
0telles que z
0z
1? Que peut-on dire de la suite ( ) z
ndans ce cas ?
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N° 5. TS1.
I. f et g sont les fonctions définies par f ( x) 2 x² 4x 16
x 2 et g( x) x 9.
f est définie sur \{ 2} et g est définie sur [0 [.
On peut calculer f (g (x )) ssi on peut calculer g (x ) et si g (x ) 2.
ssi x 0 et x 11 ssi x 0 et x121
L ensemble de définition de fg est [0 [\{121}.
On peut calculer g (f (x )) ssi on peut calculer f (x ) et si f (x ) 0.
ssi x 2 et 2x² 4 x 16
x 2 0
On étudie le signe de 2 x² 4x 16 x 2 :
Signe de 2x ² 4x 16 : 144 0 donc le trinôme a deux racines qui sont 4 et 2 et il est du signe de a 2 0 sauf entre ces racines. On a donc le tableau suivant :
x 4 2 2 + 2x² 4x 16
x 2 2x² 4x 16
x 2
L ensemble de définition de gf est [ 4 2[ [2 [.
II. On pose X x
45 x 2.
lim
x
x
45x 12 lim
x
x
4et lim
X
X donc lim
x
x
45x 12
III. h est une fonction homographique donc on a h (x ) ax b
cx d où a , b, c et d sont des réels, c étant non nul.
lim
x 4
f(x ) donc 4 est la val eur int erdit e. Alors 4c d 0, c'est-à-dire d 4 c.
La tangente à la courbe de f au point d abscisse 1 a pour coefficient directeur 4
3 donc f (1) 4 3 . f est dérivable sur \{4}. Pour tout x différent de 4, f ( x) a (cx d) c (ax b)
(cx d)
2ad b c
( cx d )
2donc f (1) ad b c
( c d)
2. On a alors ad b c (c d)
24 3 .
La tangente à la courbe de f au point d abscisse 1 a pour équation y f (1)( x 1) f(1).
L ordonnée à l origine de la tangente est donc f (1) f(1).
On sait que l ordonnée à l origine de la tangente est 1
3 donc f (1) f (1) 1
3 , c'est-à-dire 4
3
a b c d
1
3 ou encore a b
c d 1
On a donc le système ( S) :
d ad bc 4 c
(c d)² 4 3 a b
c d 1
(S )
d 4c
3ad 3bc 4( c d)²
a b c d
d 4c
12ac 3 b c 36c²
a b 3 c
d 4 c
b 3c a
12 ac 9c ² 3a c 36 c²
b 3c a
(S )
d 4c
b 3c a
a 3c
d 4 c
b 0
a 3 c
Ainsi, f est définie sur \{4} par f (x ) 3 cx
cx 4 c , c'est-à-dire f(x) 3x x 4 . Remarque : on vérifie facilement que lim
x 4
f( x) . IV.
1.
a. z
02 ; z
11
2 ; z
21 ; z
32 ; z
41
2 ; z
51 ; z
62.
b. z
0i ; z
11 i ; z
20,5+0,5i ; z
3i ; z
41 i ; z
50,5+0,5 i ; z
6i.
c. Il semble que z
3nz
0pour tout n de .
Initialisation : z
3 0z
0donc la propriété est vraie pour n
00.
Hérédité : soit p un entier naturel tel que z
3pz
0. Montrons que z
3(p 1)z
0. z
3pz
0donc z
3p 11 1
z
3p1 1
z
0donc z
3p 21 1
1 1
z
01 1
z
01 z
01 z
0z
01
z
01 z
0z
01
1 z
01 donc z
3p 31 1
1 z
01
1 z
01
1 1 z
01 z
0. Or z
3p 3z
3(p 1). Ainsi, z
3(p 1)z
0.
Conclusion : pour tout n de , z
3nz
0.
2. z
2016z
3 672z
0d après la question précédente. Ainsi z
20161 i.
3. z
0z
1 z
01 1 z
0 ( ) z
0 2z
01
z
00 ( ) z
02
