() () () DEVOIR A LA MAISON N°8. TS1.

DEVOIR A LA MAISON N°8. TS1.

Pour le vendredi 2 décembre 2016

I. Soit ( ) ^{u n} la suite définie pour tout n de par



  u 0 0,5 u n 1

1 u n

2 .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 u n 1.

2. Montrer que, pour tout n de , u n 1 u n

2 u n

2 1 u n

2  



 1 u _n

2 u n

. En déduire le sens de variation de

la suite ( ) ^u n .

3. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n . 4.

a. Rappeler la formule donnant cos( a b) où a et b sont des réels b. En déduire que, pour tout réel x, cos(x ) 2 cos²

 

  x

2 1 puis que, pour tout réel x de [0 ], cos  

  x 2

cos(x) 1 2

c. Montrer par récurrence que, pour tout n de , u n cos

 

 

3 2 ⁿ . Retrouver la limite de la suite.

II. a est un réel strictement positif.

f est la fonction définie sur par f( x) ax ³ 4,5ax² 6ax 10. Déterminer selon les valeurs de a le nombre

de solutions de l équation f (x) 0.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°8. TS1

I.

1. Montrons que, pour tout n de , 0 u n 1.

Initialisation : pour n 0 0 : u 0 0,5 et 0 0,5 1. La propriété est vraie pour n 0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que 0 u p 1. Montrons que 0 u p 1 1.

0 u p 1 donc 1 1 u p 2 donc 1

2

1 u _p

2 1

donc ¹ 2

1 u _p

2 1 car la fonction racine carrée est croissante sur [0 [.

donc 0 ¹

2 u _{p 1} 1 Conclusion : pour tout n de , 0 u n 1 2. Soit n un entier naturel.

u n 1 u n

1 u n

2 u n







 1 u _n

2 u n  



 1 u _n

2 u n

1 u n

2 u n

1 u _n 2 u n

2

1 u n

2 u n

2 u n

2 1 u n

2  

  1 u n

2 u n

On étudie le signe de u n 1 u n :

Le dénominateur est positif car u n 0 et une racine est positive.

Signe de 2 u _n ² 1 u _n : 9 donc le trinôme a deux racines qui sont 1 et 1

2 et on a le tableau de signes :

u n 1/2 0 1 +

2 u _n ² 1 u _n +

Or 0 u n 1 donc 2u n

2 u n 1 0.

Ainsi, pour tout n de , u n 1 u n 0 et la suite ( ) ^{u n} est croissante.

La suite ( ) ^{u n} est croissante et majorée par 1 donc elle converge vers un réel L appartenant à [0 1].

3. Pour tout n de , on a u n 1 f ( ) ^{u n où} f est la fonction définie sur [ 1 [ par f( x) ^{x 1} 2 La suite ( ) ^u n converge vers un réel L compris entre 0 et 1 et la fonction f est continue sur [ 1 [.

Alors f( L) L . f (L ) L  ^{1 L}

2 L  1 L

2 L ² et L 0  1 L 2L ² 0 et L 0  L 1 ou L 1

2 . Or L est compris entre 0 et 1, donc L 1. La suite converge vers 1.

4.

a. Pour tous réels a et b, cos(a b) cos( a)cos( b) sin( a)sin( b).

b. Soit x un réel.

cos(x ) cos

 

  x 2

x

2 cos²

 

  x

2 sin²

 

  x 2

Or, pour tous réel X, cos² X sin² X 1, c'est-à-dire sin²(X ) 1 cos²(X). Ici, on pose X x 2 . On a alors cos( x) cos²

 

  x 2  

  1 cos²

 

  x

2 2cos²

 

  x 2 1 Soit x un réel de [0 ]. Alors 0 x

2 2 et donc 0 cos

 

  x 2 1.

cos(x ) 2cos²

 

  x

2 1 donc cos²

 

  x 2

cos(x ) 1

2 et, puisque 0 cos

 

  x 2 , cos

 

  x 2

cos(x ) 1 2 c. Initialisation : pour n 0 0 : u 0 0,5 et cos

 

  3 2 ⁰ cos

 

 

3 0,5. Donc u 0 cos

 

 

3 2 ⁰ .

Hérédité : soit p un entier naturel tel que u p cos

 

 

3 2 ^p . Montrons que u p 1 cos

 

  3 2 ^{p 1}

u p 1

1 u _p 2

1 cos  

 

3 2 ^p

2

D autre part, cos

 

  3 2 ^{p 1} cos

 



 

3 2 ^p  2

1 cos  

 

3 2 ^p

2 d après la question b.

Ainsi, u p 1 cos

 

  3 2 ^{p 1} .

Conclusion : pour tout n de , u n cos

 

  3 2 ⁿ . 2 1 donc lim

n

2 ⁿ donc lim

n

3 2 ⁿ 0. Ainsi, lim

n

u n cos(0) 1.