Mathématiques
Devoir maison n°8
1èreS4
À rendre le 22 février 2016
Exercice 1La chasse aux canards !
Trois canards se posent sur un rocher.
Hélas ! trois chasseurs d’élite sont à l’affût : Alain, Bernard et Claude. Chacun choisit sa cible indépendamment des autres si bien que plusieurs d’entre eux peuvent viser le même canard. Puisque ce sont des chasseurs d’élite ils ne ratent jamais leur cible ! Combien de canards vont survivre en moyenne ?
1. Simulation avec OpenCalc1 :
a) Compléter les cellules de la première ligne comme ci-dessus.
b) Dans les cellules A2 , B2 et C2 simuler le tir d’un canard avec
=ENT(3*ALEA()+1).
(3 pour Alain, par exemple, signifie qu’Alain a tiré sur le canard n°3) c) Dans la cellule D2 indiquer le
nombre de fois où le canard n°1 est touché avec =NB.SI(A2 :C2;1). d) Dans les cellules E2 et F2 indiquer
- en adaptant la formule - le nombre de fois où les canards n°2 et n°3 sont touchés.
e) Indiquer dans la cellule G2 le nombre de canards survivants. (penser à la commande NB.SI ...)
f) Simuler 2000 expériences aléatoires, c’est à dire 2000 tirs des trois chas- seurs, en recopiant la deuxième ligne jusqu’à la ligne 2001 puis, dans la cellule G2003 , indiquer le nombre moyen de survivants. (penser à la commande MOYENNE...)
2. Étude de la loi de X :
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de canards survivants. On se pro-
pose de déterminer la loi de probabilité de X, puis de calculer son espérance mathé- matiques.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) On note les canards C1, C2 et C3. Montrer à l’aide d’un arbre que le nombre d’éventualités de cette expé- rience aléatoire est 27.
c) Donner la loi de probabilité de X.
d) Calculer l’espérance mathématique E(X).
Comparer cette valeur avec celle obte- nue par simulation.
e) Calculer la variance V(X) et l’écart type σ(X).
Exercice 2Problème de dopage Partie A : Étude d’une fonction Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; 12 par :
f(t) = 2t2+ 10t+ 2 t2+ 1
1. Démontrer que la fonction dérivée def est définie sur l’intervalle0 ; 12 par :
f0(t) = 10(−t+ 1)(t+ 1) (1 +t2)2
2. a) Étudier le signe def0(t) sur l’intervalle 0 ; 12.
b) Dresser le tableau de variation de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 12. Pour f(12) on fera figurer la valeur approchée arrondie à 10−1.
1. Envoyer le fichier .ods àx.hallosserie@orange.fr
3. a) Résoudre par le calcul dans 0 ; 12, l’équationf(t) = 3. Donner les valeurs approchées arrondies à 10−1 des solu- tions.
b) En déduire l’ensemble des solutions dans0 ; 12de l’inéquationf(t)63.
Partie B : Application
Un sportif a absorbé un produit dopant.
On admet que f(t) représente le taux de produit dopant, en µg/L, présent dans le sang de ce sportif en fonction du tempst, en heures, écoulé depuis l’absorption durant les douze heures qui suivent cette absorption.
1. Déterminer par le calcul le taux de produit dopant présent dans le sang du sportif au bout de 2 heures et 30 minutes. Arrondir à 10−1.
2. Au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang du sportif est- il maximal ?
3. Les règlements sportifs interdisent l’usage de ce produit dopant. Le taux maximum autorisé est de 3µg/L.
Déterminer au bout de combien de temps le taux de produit dopant dans le sang de ce sportif redescend en dessous de 3µg/L.
Exercice 3Le sens de l’orientation Sur le schéma ci-contre, on a tracé le cercle trigonométrique et le repère direct (O ;
I , J). Les points A, B, C et E sont placés tels que OIA est un triangle équilatéral, OABC est un carré et B, O et E sont alignés.
O• •I
J• A
B
C
E•
+
C
1. Donner la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
−→
OI ;OA−→,OC ;−→ OA−→,−→AI ;AO−→. 2. Calculer la mesure principale de chacun
des angles orientés suivants :
−→
OI ;OC−→, OJ ;−→ OA−→, OA ;−→ OB−→,
−→
OI ;OE−→,AO ;−→ OC−→et−→IO ; −→IE.
Bonus !
Répondez à l’énigme de la quinzaine sur :
http://rallymaths.free.fr/
