Devoir maison 8

Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC mathématiques M RHARIF Page 1 Exercice 1

1. Montrer que la fonction ^{xxln 1}



^ex



est intégrable sur l’intervalle



0,



. 2. Montrer à l’aide du changement de variable ^{x ln}

 

^t que l’on justifiera avec soin que :

 

¹

^{ }

0 0

ln ln 1

ln 1 ^x t t

x e dx dt

t



 

  

  

 



3. Montrer à l’aide d’une IPP, que l’on rédigera soigneusement en revenant aux bornes que :

 

¹

 

²

1

0 0

ln ln 1 1 ln

2 1

t t t

dt dt

t t

 



 

 

 

4. Soit la fonction définie par :

 

 

0

2

: 0,1 ln f

t t



 montrer que f₀est intégrable sur

 

0,1

5. Soit la série de fonctions

1 n n



f



où fn^{: 0,1}

 

 est définie par :

  

^ln



^{2 si 0}

0 si 0

n n

t t t

f t

t

 

 

 



Pour n^*, étudier les variations de f_net en déduire que la série de fonctions

1 n n



f



converge normalement.

6. Montrer que :  n ,

   

1 0 3

2

n 1 f t dt

n





 



7. En utilisant un des deux théorèmes d’intégration terme à terme, que l’on justifiera soigneusement, montrer :

 

3

0 1

ln 1 ^x 1

n

x e dx

n

 





  



  

Exercice 2

Soit un entier n  2, z1 et z2 deux complexes tels que z2 0. M la matrice de n() suivante :

M =

1 2 2

2 1

2

2 2 1

z z z

z z

z

z z z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

  

 

1. Montrer que M admet un sous espace propre de dimension n 1.

2. En déduire que M est diagonalisable dans _n() 3. Calculer det M en fonction de z1 et z2

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