INTERROGATION PSI
INTERROGATION n
◦1
Exercice 1 (CCINP PSI 2018 - Q1 et Q4).Soit n ∈ N. On note ∆ l’endomorphisme de Rn[X] d´efini par :
∀ P ∈ Rn[X] , ∆(P ) = XP0.
1. Calculer ∆(Xk) pour tout k ∈ [[0, n]].
2. D´eterminer la matrice de ∆ dans la base canonique (1, X, . . . , Xn) de Rn[X].
3. (”simple”) ∆ est-il un automorphisme ?
3. (”difficile”) ∆ est-il un endomorphisme nilpotent ?
INTERROGATION PSI
INTERROGATION n
◦2
Exercice 2 (CCINP PSI 2016 - Q1 et Q2).Soit α ∈ [0, 1] et β ∈ [0, 1] avec (α, β) 6= (0, 0), on note : A(α, β) =
1 − α α β 1 − β
Il pourra ˆetre utile de noter λ = 1 − (α + β).
1. Montrer que 1 est valeur propre de A(α, β) et d´eterminer le sous-espace propre associ´e.
2. Montrer que A(α, β) est diagonalisable dans M2(R) et la
diago-naliser.
3. (bonus) Calculer, pour p ∈ N, la matrice A(α, β)p.
INTERROGATION PSI
INTERROGATION n
◦3
Exercice 3 (e3A 2016 - Exercice 1 - Q1).1. V´erifier que P
n≥1 1
2n−1 converge et calculer sa somme.
2. D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere P
n≥1 nxn−1 et calculer sa somme. 3. (bonus) Nature de P n≥2 1 n ln n?
INTERROGATION PSI
