EDHEC voie S 2016

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ÉCS2 Devoir surveillé n^o6 - EDHEC 2016 ^15/3/2017

Le soin, la clarté et la précision de la rédaction rentreront pour une large part dans l’évaluation. On pourra admettre la réponse à une questionà condition de le mentionner explicitement.

Veuillez encadrer les réponses finales à chaque question.

EDHEC voie S 2016

Exercice 1

On considère la fonctionf définie sur R^∗+ par : ∀x∈R^∗+, f(x) = ^e^−x_x .

On considère également la suite (u_n)n∈N définie par u₀ = 1 et par la relation u_n+1 = f(u_n), valable pour tout entier natureln.

1. (a) Dresser le tableau de variation def, limites comprises.

(b) Vérifier que chaque terme de la sutie (un)n∈N est parfaitement défini et strictement positif.

2. Les scripts suivants renvoient, pour celui de gauche, la valeur 5, et celui de droite, la valeur 6. Que sait-on de u5 etu6? Quelle conjecture peut-on émettre sur le comportement de la suite (un)n∈N?

u=1 n=0

while u>0.00001 u = exp(-u)/u n=n+1

end disp(n)

u=1 n=0

while u<100000 u = exp(-u)/u n=n+1

end disp(n)

3. (a) Étudier les variations de la fonctiong définie surR+ par :

∀x∈R+, g(x) =e^−x−x²

(b) En déduire que l’équation f(x) = x, d’inconnue x, possède une seule solution, que l’on notera α, sur R^∗₊.

(c) Montrer que ¹_e < α <1.

4. (a) Établir les deux inégalités :u2 > u0 etu3 < u1.

(b) En déduire les variations des suites(u2n)n∈N et(u2n+1)n∈N. 5. On pose :h(x) =

( (f ◦f)(x) six >0,

0 six= 0.

(a) Déterminerh(x)pour tout réel x strictement positif et vérifier queh est continue en 0.

(b) Résoudre l’équationh(x) =x, d’inconnue xélément de R+. (c) En déduire la limite de la suite(u_2n+1)n∈N.

(d) Montrer par l’absurde que la suite(u_2n)n∈N diverge puis donner lim

n→+∞u_2n. Exercice 2

6. Dans cette questionf est un endomorphisme deRⁿ qui vérifie f◦(f −Id)² = 0, où Iddésigne l’endomorphisme identité de Rⁿ.

(a) Déterminer(f−Id)²+f◦(2Id−f).

(b) En déduire que :∀x∈Rⁿ, x= (f−Id)²(x) + (f◦(2Id−f)) (x).

(c) Utiliser ce dernier résultat pour établir queRⁿ= Ker(f)⊕Im(f).

7. Dans cette questionf est un endomorphisme deRⁿ tel que : f◦(f−Id)◦(f−4Id) = 0

Lycée Henri Poincaré 1/4

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(a) Déterminer un polynômeP du premier degré vérifiant : 1

4(X−1)(X−4) + XP(X) = 1 (b) En déduire que :Rⁿ= Ker(f)⊕Im(f).

8. Dans cette question f est un endomorphisme de Rⁿ etP est un polynôme annulateur de f, dont le degré est égal à p(avecp>2), et tel queP(0) = 0etP⁰(0)6= 0.

(a) Montrer qu’il existep réelsa₁, . . . , a_p aveca₁ 6= 0, tels queP =a₁X +· · ·+a_pX^p. (b) En déduire que Ker(f)∩Im(f) ={0}, puis établir queRⁿ= Ker(f)⊕Im(f).

(c) En quoi cette question est-elle une généralisation des deux questions précédentes ? Exercice 3

Les questions 9) et 10) sont indépendantes des suivantes.

SoitXune variable aléatoire suivant la loi normale de paramètresmetσ² (avecσ >0). On rappelle qu’une densité deX est la fonctionϕ_m,σ² définie sur Rpar : ∀x∈R, ϕ_m,σ²(x) = 1

σ√ 2πe⁻

(x−m)2 2σ2 .

On suppose que l’on ne connaît pas les paramètres θ₁ = m et θ₂ = σ² et on souhaite les estimer par une méthode appélée méthode du maximum de vraisemblance.

Pour ce faire, on considère un n-échantillon (X₁, . . . ,X_n) de la loi de X, avec n > 2. On rappelle que les variables aléatoires X₁, . . . ,X_n sont indépendantes et suivent toutes la même loi queX.

On appelle vraisemblance du couple (θ1, θ2), la fonction notéeL définie par : L(θ1, θ2) =

n

Y

i=1

ϕ_θ₁_,θ₂(xi), où x1, . . . , xn sont des nombres réels donnés 9. Donner l’expression deL(θ₁, θ₂), puis celle deln (L(θ₁, θ₂))en fonction de θ₁, θ₂ etx₁, . . . , x_n.

10. (a) Justifier que la fonction f : (θ₁, θ₂) 7→ln (L(θ₁, θ₂)), définie que l’ouvert U =R×R^∗+, est de classe C² surU.

(b) Montrer quef admet un seul point critiqueA =

θb1,θb2

surU tel que : θb₁= 1

n

X

i=1

x_i etθb₂= 1 n

n

X

i=1

x²_i −θb₁²

(c) Déterminer les valeurs des dérivées partielles d’ordre 2 de f enA.

On vérifiera en particulier que :∂_2,2² (f)

θb1,θb2

= −n 2θb₂²

. (d) En déduire que f admet un maximum local en(θb₁,θb₂).

(e) Expliquer pourquoi la fonctionLadmet aussi un maximum loacal en (θb₁,θb₂).

On pose dorénavant Xn= 1 n

n

X

i=1

Xi etZn= 1 n

n

X

i=1

X²_i −Xn 2. 11. Vérifier que Xn est un estimateur sans biais de m.

12. Montrer que Zn est un estimateur asymptotiquement sans biais de σ².

13. On se propose, dans cette question, de montrer que Zn est un estimateur convergent de σ².

(a) Rappeler pourquoi la suite (Xn) converge en probabilité vers m. Qu’en déduire pour la suite (Xn 2)? Justifier.

(b) Montrer queXpossède un moment d’ordre 4. En déduire que la suite 1

n

P

i=1

X²_i

converge en probabilité versσ²+m².

(c) Établir que, pour toutεstrictement positif, on a : Z_n−σ²

>ε

⊂ 1 n

n

X

i=1

X²_i −(σ²+m²)

> ε 2

!

∪

X_n²−m² > ε

2

(d) Déduire des questions précédentes queZn est un estimateur convergent deσ².

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Problème

Partie 1 : résultats préliminaires

14. Pour chaque entier naturel n, on considère une matrice An de M₄(R), dont l’élément situé à l’intersection de lai^ème ligne et de laj^èmecolonne est notéa_i,j(n), ainsi qu’une matriceAdeM₄(R), dont l’élément situé à l’intersection de la i^ème ligne et de laj^ème colonne estai,j.

On suppose que la suite de matrices (An) converge vers la matrice A, c’est à dire que :

∀(i, j)∈[[1,4]]×[[1,4]], lim

n→+∞ai,j(n) =ai,j

Soient BetCdeux autres matrices deM₄(R), indépendantes de n.

Montrer que lim

n→+∞BA_n= BA. On admet que ceci reste vrai siBappartient àM_1,4(R).

On admet que lim

n→+∞AnC = AC et que ceci reste vrai siCappartient à M_4,1(R).

On admet également que lim

n→+∞BA_nC = BAC.

15. Montrer que, si une matrice A de M₄(R) est telle que, pour tout ide [[1,4]],

4

P

j=1

a_i,j est une constante c, alorsc est une valeur propre de A.

16. Montrer que si une matrice AdeM₄(R)est diagonalisable, alors la somme de ses valeurs propres, (chacune étant comptée un nombre de fois égal à la dimension du sous-espace propre associé) est égale à la trace deA.

Partie 2 : Étude de la matrice d’une chaîne de Markov

On considère deux urnesUetV contenant chacune 3 boules. Au départ, l’urneUcontient 3 boules blanches et l’urneV contient 3 boules noires.

On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne et à la mettre dans l’autrre urne (un tirage est un échange de 2 boules).

Pour tout entier natureln, on noteX_nla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient U avant le(n+ 1)^ème tirage (c’est à dire après len^ème échange) et on a donc X0= 3.

On considère le vecteur ligne Ln de M_1,4(R) :Ln= P(Xn= 0) P(Xn= 1) P(Xn= 2) P(Xn= 3) . 17. Pour tout couple (i, j) éléments de[[0,3]] et tout entier n>3, déterminerP_(X_n_=i)(Xn+1 =j).

18. (a) Soient nun entier supérieur ou égal à 3 etM la matrice deM₄(R)dont l’élément de la(i+ 1)^ème ligne et de la (j+ 1)^ème colonne est égal à P_(X_n_=i)(X_n+1 =j). Justifier soigneusement que M est la matrice donnée à la question 25).

(b) Montrer que :∀n∈N, n>3, L_n+1= L_nM (le résultat est admis pourn= 0,1 et2).

(c) En déduire que :∀n∈N,L_n= L₀Mⁿ.

19. (a) Montrer sans calcul que 1 est valeur propre deM.

(b) On considère les vecteurs E₁= (9 −1 −1 9) etE₂ = (3 1 −1 −3).

Montrer que^tE1 et^tE2 sont vecteurs propres de M et donner les valeurs propres associées.

(c) Montrer que, si Mest diagonalisable, alorsM possède une quatrième valeur propre λque l’on détermi- nera. Vérifier queλest effectivement valeur propre de Met conclure queM est diagonalisable.

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Partie 3 : Recherche d’une loi stationnaire

20. Justifier qu’il existe une matrice Q inversible, dont la première colonne ne contient que des "1", et une matrice Ddiagonale telle que M = QDQ⁻¹.

21. Montrer que : lim

n→+∞Mⁿ= Q







1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0





 Q⁻¹.

22. Soit L = (`₁, `₂, `₃, `₄) la première ligne deQ⁻¹.

(a) En utilisant la relationQ⁻¹M = DQ⁻¹, montrer que :`₁=`₄ et`₂=`₃ = 9`₄. (b) Conclure, en considérant le produit Q⁻¹Q, que`4 = 1

20. 23. Déduire de ce qui précède les 16 coefficients de la matrice lim

n→+∞Mⁿ.

24. On considère une autre expérience aléatoire qui consiste à tirer 3 boules, une par une et sans remise, dans une urne qui en contient 6, dont 3 sont blanches et 3 sont noires.

On noteBk(resp.Nk) l’événement « obtenir une boule blanche (resp. noire) auk^èmetirage » etXla variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

(a) Quelle est la loi deX?

(b) Vérifier que







P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3)







est un vecteur propre de^tM, associé à la valeur propre 1.

(c) Montrer que la suite(Xn)converge en loi vers X.

25. On rappelle que la commande X=grand(n, ’markov’, M, X0) renvoie les n premiers états suivant l’état initialX0, d’une chaîne de Markov de matriceMet on rappelle également que Scilabassimile un booléen vrai au nombre 1 et un booléen faux au nombre 0.

On considère le script suivant :

n=input(’entrer la valeur de n :’)

M=[0,1,0,0 ; 1/9,4/9,4/9,0 ; 0,4/9,4/9,1/9 ; 0,0,1,0]

X=grand(n, ’markov’, M, 4)-1 f=sum(X==0)/n

disp(f)

De quelle valeur exacte le contenu de f est-il proche lorsquenest assez grand ?