Comment déterminer les valeurs propres d’une matrice carrée ?
1) La méthode classique mais lourde (parfois Très lourde !) : résoudre le système en 𝜆 Plusieurs exemples sont donnés à l’exercice 1 du TD3
https://sosmath.jimdofree.com/ece2/td/
2) Avec un polynôme annulateur : les racines du polynôme sont des valeurs propres potentielles de la matrice, il suffit alors de les tester en étudiant l’inversibilité de la matrice 𝐴 − 𝜆𝐼 où 𝜆 est une racine du polynôme (ou étudier le système du premier point en remplaçant 𝜆 par une racine du polynôme …)
Voir Exercice 5 du TD3.
3) En observant l’énoncé, parfois des matrices donnent des réponses, on peut les
exploiter. Par exemple, une matrice diagonale ou encore une matrice P… On peut tenter sa chance ainsi …
Voir l’exercice 9 du TD3
4) Avec un peu de chance, une des valeurs propres est visible facilement (0 par exemple si la matrice n’est pas inversible). Dans ce cas, on peut utiliser la trace de la matrice (hors programme).
La trace d’une matrice est la somme des éléments de sa diagonale.
Dans le cas où une matrice est diagonalisable, la trace est égale à la somme des valeurs propres (comptées autant de fois que la dimension des sous espaces propres associés) En clair, si une matrice a pour valeurs propres 2 (sous espace propre de dimension 1) et 3 (sous espace propre de dimension 2), alors sa trace est égale à 2+3+3=8.
5) Pour les matrices hessiennes : en générale elles sont de la forme 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 Mais dans le cas particulier où la matrice est de la forme 𝑎 𝑏
𝑏 𝑎 , elle a pour valeurs propres 𝑎 + 𝑏 et 𝑎 − 𝑏 et pour vecteurs propres associés 1
1 et 1
−1 . En effet, 𝑎 𝑏
𝑏 𝑎 1
1 = 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 = (𝑎 + 𝑏) 1 1 et 𝑎 𝑏
𝑏 𝑎 1
−1 = 𝑎 − 𝑏
𝑏 − 𝑎 = (𝑎 − 𝑏) 1
−1
