La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée.
² L’objet du problème est l’étude, dans certains cas, des sous-espaces stables par un endomorphisme d’un espace vectoriel.
² Dans tout le problème, on considère un entier naturel nnon nul et on note E le R-espace vectorielRn.
² On note0E le vecteur nul de EetIdE l’endomorphisme identité deE.
² On dira qu’un sous-espace vectoriel F de E est stable par un endomorphisme f de E (ou que f laisse stable F) si l’inclusion f(F)½F est véri…ée.
² On note R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coe¢cients réels et, pour tout entier naturel k, on note Rk[X] le sous-espace vectoriel formé par les éléments deR[X]qui sont de degré inférieur ou égal àk.
² Sif est un endomorphisme de Eon pose
f0=IdE; f1=f; f2 =f ±f ; f3=f±f±f ; etc:
² Sif est un endomorphisme de Eet si
P = Xn k=0
akXk
est un élément deR, on rappelle qu’on noteP(f) l’endomorphisme deEégal à
P(f) = Xn k=0
akfk:
PARTIE 1 Préliminaires
SoitB une base deE :Soitf un endomorphisme deE de matrice Adans la baseB . 1.
a)Montrer que sif etgsont deux endomorphismes qui commutent , le noyau , l’image et les sous espaces propres de g sont stables parf .
b)SoitP un élément deR[X]. Montrer que le sous-espace vectorielkerP(f)est stable parf.
2.
a) Montrer que les droites de E stables par f sont exactement celles qui sont engendrées par un vecteur propre de l’endomorphismef.
b) Soit Á une forme linéaire non nulle de matrice Ldans a base B . Montrer que H = Ker(Á) est stable parf si et seulement sitL est un vecteur propre detA.
b)On note B= (e1; e2; e3) la base canonique deR3 et on considère l’endomorphisme g de R3dont la matrice dans la baseBest
B= 0
@ 1 1 0 0 1 1 0 0 2
1 A:
Déterminer (en donnant une base) tous les sous espaces stables deg. 3. Soitp un entier naturel non nul.
a)SiF1; : : : ; Fpsontp sous-espaces vectoriels deEstables parf, montrer qu’alors la sommePp
k=1Fkest un sous-espace vectoriel stable parf.
b)Si¸1; : : : ; ¸p sontpvaleurs propres def et si n1; : : : ; np sontp entiers naturels, montrer qu’alors la somme Xp
k= 1
ker(f ¡¸kIdE)nk est stable parf.
4.
a)Soit ¸un réel. Véri…er que les sous-espaces vectoriels de E stables par un endomorphisme f sont exactement ceux qui sont stables par l’endomorphismef¡¸IdE.
b) Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme f et ceux qui sont stables par l’endomorphismef2?
c) Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un automorphisme f et ceux qui sont stables par l’endomorphismef¡1?
d)Que dire d’un endomorphisme de E laissant stable tout sous-espace vectoriel deE?
e) Donner un exemple d’endomorphisme de R2 ne laissant stable que le sous-espace vectoriel réduit au vecteur nul et l’espaceR2.
PARTIE 2
Le cas où l’endomorphisme est diagonalisable
Dans cette partie,on considère un endomorphismef deEdiagonalisable et on note ¸1; : : : ; ¸pses valeurs propres distinctes et E1; : : : ; Eples sous-espaces propres correspondants.
1. Que dire des sous-espaces vectoriels de E stables parf si p= 1?
2. On suppose l’entierp au moins égal à 2. On considère un sous-espace vectorielF deE stable par f et un élément xde F.
a)Justi…er l’existence d’un unique élément(x1; x2; : : : ; xp)de Qp
k=1Ek véri…ant l’égalité:
x= Xp k=1
xk:
b)Montrer que le vecteur Pp
k=2(¸k¡¸1)xk est élément deF. c) Montrer que les vecteurs x1; : : : ; xp sont tous dansF.
3. Déduire de la question précédente que les sous-espaces vectoriels de E stables par f sont exactement les sous-espaces vectoriels de la forme Pp
k=1Fk où, pour tout entierk véri…ant les inégalités1 ·k · p, Fk est un sous-espace vectoriel deEk.
4. Montrer que l’endomorphisme induit par f sur l’un de ses sous-espaces vectoriels stables F est un endomorphisme diagonalisable de F.
5. Donner une condition nécessaire et su¢sante portant sur les valeurs propres def pour queE possède un nombre …ni de sous-espaces vectoriels stables parf. Quel est alors ce nombre?
PARTIE 3
Le cas où l’endomorphisme est nilpotent d’ordre
nOn note0 l’endomorphisme nul deE et on considère un endomorphismef deEnilpotent d’ordren, c’est-à-dire véri…ant les conditions:
fn=0 et fn¡16=0:
1. On noteD l’endomorphisme deRn¡1[X]qui à tout polynômeP associe son polynôme dérivé P0. a)Véri…er queDnest nilpotent d’ordre n.
b)Véri…er que les sous-espaces vectoriels deRn¡1[X] stables par D sont, en dehors du sous-espace vectoriel réduit au polynôme nul, lesn sous-espaces vectoriels suivants:
R0[X];R1[X]; : : : ;Rn¡1[X]:
2.
a)Etablir qu’il existe une baseB= (e1; e2; : : : ; en) deE dans laquelle la matriceA de f est
A= 0 BB BB BB B@
0 1 0 ¢ ¢ ¢ 0 ... 0 .. . ... ...
... .. . 1 0
... 0 1
0 ¢ ¢ ¢ ¢¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 1 CC CC CC CA
2
A est donc la matrice dont le coe¢cient de la ligne i et de la colonne j (1· i· n;1 ·j ·n)vaut 1 si j =i+ 1et 0 sinon.
b)Montrer que la matriceAest semblable à la matriceB suivante
B = 0 BB BB BB B@
0 1 0 ¢ ¢¢ 0
... 0 2 . .. ... ... ... . .. 0
... 0 n¡1
0 ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢¢ 0 1 CC CC CC CA
B est donc la matrice dont le coe¢cient de la lignei et de la colonne j (1·i· n;1· j· n)vaut isi j= i+ 1et 0 sinon.
c) Déterminer (en donnant une base) les sous-espaces vectoriels de E stables parf.
PARTIE 4
Le cas où l’endomorphisme est nilpotent d’ordre 2
Dans cette partie on considère un endomorphisme f de Enilpotent d’ordre 2, c’est à dire un endomorphisme non nul de E tel quef ±f est l’endomorphisme nul.
1. On considère un sous-espace vectorielF2 deE véri…ant
F2\kerf =f0Eg: a)Justi…er l’inclusion:
f(F2)½ kerf :
b)On considère de plus un sous-espace vectoriel F1dekerf contenantf(F2). Montrer que la sommeF1+F2 est directe et que c’est un sous-espace vectoriel deE stable parf.
c) Étant donné A; B; C trois sous-espaces vectoriels deE, établir l’inclusion:
(A\C) + (B\C)½(A+B)\C:
A-t-on nécessairement l’égalité?
d)Déterminer l’intersection
(F1+F2)\kerf:
2. Réciproquement on considère un sous-espace vectoriel F deE stable par f. On poseF1 =F \kerf et on considère un sous-espace vectorielF2 supplémentaire deF1dansF.
Véri…er l’inclusion f(F)½F1.
3. Dans cette question, on suppose que l’entiern est égal à 4 (i.e. E = R4) et on considère l’endomorphisme h de E dont la matrice dans la base canoniqueB= (e1; e2; e3; e4)de R4est la matrice M suivante
M = 0 BB
@
1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 2
1 CC A
a)Véri…er que les sous-espaces vectoriels
G1= ker(h¡Id)2 et G2= ker(h¡2I)2 sont supplémentaires.
b)Montrer que les sous-espaces vectoriels stables par hsont exactement les sommesH1+H2 où H1 (resp. H2) est un sous-espace vectoriel de G1(resp. G2.) stable par h.
c) Déterminer (en donnant une base) les sous-espaces vectoriels de E stables parh.
PARTIE 5
Existence d’un plan stable par un endomorphisme
3
Soitf un endomorphisme non nul deE.On supposeran¸2:
1. a)Justi…er l’existence d’un polynôme non nul à coe¢cients réels annulant f.
b)En déduire l’existence d’un unique polynôme non nul unitaire (coe¢cient dominant égal à 1) à coe¢cients réels de plus bas degré annulant f.Ce polynôme est notéM :
c) que peut-on dire def siM est un polynôme de degré1:
2. Montrer que ¸est valeur propre def si et seulement si¸est racine deM :
3. Dans cette question,on suppose que le polynômeM est divisible par un polynôme du second degré à coe¢cients réels notéX2+bX+cavecb2¡4c <0
a)Montrer que l’endomorphismef2+bf +cIdE n’est pas injectif.
b)En déduire qu’il existe un plan de E stable parf.
4. Dans cette question,on suppose qu’il existe un réel¸et un entierpau moins égal à 2 véri…ant l’égalité: M = (X¡¸)p . On poseg=f¡¸IdE:
a)Montrer qu’il existe un vecteurx deE tel que la famille
¡x; g(x); : : : ; gp¡1(x)¢
est libre.
b)En déduire qu’il existe un plan de E stable parf.
5. Montrer que, dans tous les cas, il existe un plan deEstable parf.
6. On note B= (e1; e2; e3; e4)la base canonique de R4 et on considère l’endomorphismeg de R4 dont la matrice dans la baseBest
A= 0 BB
@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
¡1 0 0 0 1 CC A
a)CalculerA4
b)Déterminer le polynôme M associé .
c) Calculer un plan stable parg:(En donner un base)
4
