Devoir `a la maison 2 A rendre le 14 avril 2008 Question pr´eliminaire :

(1)

UNIVERSIT´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ee 2007/2008

MIME 23-24 LM 125

Devoir ` a la maison 2

A rendre le 14 avril 2008

Question pr´ eliminaire : Soit K un corps commutatif. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f : E → E une application lin´eaire. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.

Exercice 1 Soit

R[[X ]] := {

∞

X

i=0

a

i

X

ⁱ

, a

i

∈ R}

l’ensemble des s´eries formelles ` a coefficients dans R. On d´efinit l’addition et la multiplication avec un scalaire λ ∈ R par

∞

X

i=0

a

i

X

ⁱ

+

∞

X

i=0

b

i

X

ⁱ

:=

∞

X

i=0

(a

i

+ b

i

)X

ⁱ

et

λ ·

∞

X

i=0

a

i

X

ⁱ

:=

∞

X

i=0

(λa

i

)X

ⁱ

a.) Montrer que (R[[X ]], +, ·) est un R-espace vectoriel.

On d´efinit une application (dite d’int´egration formelle) I : R[[X]] → R[[X]], P =

∞

X

i=0

a

i

X

ⁱ

7→

∞

X

i=0

a

i

i + 1 X

ⁱ⁺¹

.

b.) Montrer que I est une application lin´eaire. Montrer que I est injective mais n’est pas surjective.

c.) Trouver une application lin´eaire D : R[[X ]] → R[[X]] telle que D ◦ I = Id

_R_[[X]]

.

Montrer que D est surjective, mais n’est pas injective.

d.) Existe-t-il une application F : R[[X ]] → R[[X ]] telle que I ◦ F = Id

_R[[X]]

? e.) Soit P ∈ R[[X]] tel que I(P ) = P. Montrer que P est nul.

f.) Posons

V := {P ∈ R[[X ]] | D(P ) = P}.

Montrer que V est un sous-espace vectoriel de R[[X ]]. Donner une base de V .

g.) Montrer que l’espace vectoriel des polynˆ omes R[X ] est un sous-espace vec- toriel de R[[X ]]. Montrer que V ∩ R[X ] = {0}.

1

(2)

Exercice 2 Soit E := M

2

(R) l’ensemble des matrices 2 × 2 avec coefficients dans R, l’addition et la multiplication avec un scalaire ´etant donn´es par

a

1,1

a

1,2

a

2,1

a

2,2

+

b

1,1

b

1,2

b

2,1

b

2,2

=

a

1,1

+ b

1,1

a

1,2

+ b

1,2

a

2,1

+ b

2,1

a

2,2

+ b

2,2

λ ·

a

1,1

a

1,2

a

_2,1

a

_2,2

=

λa

1,1

λa

1,2

λa

_2,1

λa

_2,2

.

a.) Montrer que (E, +, ·) est un R-espace vectoriel.

b.) Montrer que la dimension de E est 4.

Rappelons que pour une matrice A =

a

1,1

a

1,2

a

2,1

a

2,2

,

la trace est d´efinie par tr(A) = a

1,1

+ a

2,2

. c.) Montrer que

tr : E → R, A 7→ tr(A)

est une application lin´eaire. Donner une base de son noyau et son image.

d.) Soit g : E × E → R , g(A, B) = tr(

^t

A ◦ B), o` u

^t

A d´esigne la matrice transpos´ee de A et ◦ le produit de deux matrices. Montrer que

(i)

g(A, B) = g(B, A) ∀ A, B ∈ E (ii)

g(A + λA

^′

, B) = g(A, B) + λg(A

^′

, B) ∀ A, A

^′

, B ∈ E, λ ∈ R

(iii)

g(A, A) ≥ 0 ∀ A ∈ E (iv)

g(A, A) = 0 ⇔ A = 0 On dit que g est un produit scalaire sur E.

Exercice 3 Soit ϕ : R

ⁿ

→ R

ⁿ

une application lin´eaire telle que ϕ

ⁿ

= 0, mais ϕ

ⁿ⁻¹

6= 0. Soit v ∈ R

ⁿ

un vecteur tel que ϕ

ⁿ⁻¹

(v) 6= 0. Montrer que {v, ϕ(v), ϕ

²

(v), . . . , ϕ

ⁿ⁻¹

(v)} est une base de R

ⁿ