• Aucun résultat trouvé

On a Fun sous espace vectoriel de ℝ³, donc F est un espace vectoriel sur ℝ Soient (x, y, z) ЄF &rArr

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2021

Partager "On a Fun sous espace vectoriel de ℝ³, donc F est un espace vectoriel sur ℝ Soient (x, y, z) ЄF &rArr"

Copied!
2
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)www.elmerouani.jimdo.com. Solution de l’exercice 1.5 page : 17 • On montre que F est un plan vectoriel c.à.d. de dimension deux. On a Fun sous espace vectoriel de ℝ³, donc F est un espace vectoriel sur ℝ Soient (x, y, z) ЄF ⇒ x+y+z=0 ⇒ z=-x-y. lM ®E Donc (x, y, z)=(x, y;-x-y). =(x (1, 0,-1) +y (0, 1,-1). D’où e₁= (1, 0,-1) et e₂= (0, 1,-1) forment une famille génératrice de F. On montre que {e₁, e₂}. est libre. ero. soient a, a₂Є ℝ.. Tel que a₁- e₁+a₂ e₂=(0.0.0) ⇒a₁(1,0,-1)+a₂(0,1,-1)=(0,0) ⇒(a₁,a₂,-a₁-a₂)=(0,0,0) ⇒a₁=a₂=0.. ua. Donc {e₁, e₂} est libre et par suite c’est une base de F D’où dim F=2. ni. G= {(x, y, z) Є ℝ³;x+y=2z}. G est un sous espace vectoriel de ℝ³.. FP. On montre que dimG=2. Soit(x, y, z) Є G ⇒x+y=2z ⇒ x=2z-y. (x, y, z)=y (-1, 1,0) +z (2, 0,1). tou. Te. (x, y, z)= (2z-y, y, z). Donc {(-1, 1,0) ;(2, 0,1)} set un système générateur de G. On montre que c’est système libre ;. an. Soient α, β Є ℝ tel que α (-1, 1,0) + β (2, 0,1) = (0, 0,0) ⇒ α= β =0. Donc {(-1, 1,0) ; (2, 0,1) est libre par conséquence, c’set une base de G est dim G=2. F ⋂ G= {(x, y, z) Є ℝ³/x+y+z=0 et x+y=2z} = {(x, y, z) Є ℝ³/3z=0 et x+y+z=0} = {(x, y, z) Є ℝ³/z=0 et x+y=0} = {(x,-x, 0)/x Є ℝ} ={x (1,-1,0)/x Є ℝ}. Donc {(1,-1,0)} est générateur de F ⋂ G et de plus il est libre. 1.

(2) www.elmerouani.jimdo.com. Car si a Є ℝ tel que : a (1,-1,0)=0 ⇒ a=0 par suite {(1,-1,0)} est une base de F ⋂ G. donc dimF ⋂ G=1 (droite vectorielle). F ⋂ H={(x,y,z) Є ℝ³/ x+y+z=0 et x=y=z} = {((x,y,z)Є ℝ³/x=y=z=0} = {(0,0,0)} est un sous espace vectoriel de ℝ³, on l’appelle le sous-espace vectoriel trivial, par convention, et il est de dimension zéro, par pure convention.. lM ®E. G⋂H={(x,y,z)Єℝ³/x+y=2z et x=y=z}={(x,y,z) Єℝ³/ x=y=z=1} donc c’est une droite vectorielle de base (1,1,1) dim G⋂H=1. ni. ua. ero FP tou. Te an 2.

(3)

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 2 Page - 775.94 KB )

Documents relatifs

2 Sous-espace vectoriel d’un K -espace vectoriel

Toutefois dans le cas où E est un espace vectoriel de dimension finie, nous verrons un mode de construction de supplémentaires grâce au théorème de la

SiF, G sont des sous-espaces vectoriels deE, montrer que F +G est un sous-espace vectoriel deE

Montrer que toute matrice de M 3 ( C ) se d´ ecompose en la somme d’une matrice sym´ etrique et d’une matrice antisym´ etrique.. Donner des lois

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E

Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie tels que E est la somme directe de F et G.. (a) Donner une d´ efinition de “Somme directe

1.2 Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel

Cette famille n’est pas génératrice car la fonction constante égale à 1 ne s’écrit pas comme une combinaison linéaire des fonctions proposées (en effet toute CL des trois

Montrer que F est un sous-espace vectoriel de

ℱ est une famille génératrice de E si tout vecteur de E peut s’écrire sous forme d’une combinaison linéaire de vecteurs

Montrer que F n’est pas un espace vectoriel On suppose que

Ainsi F n’est pas un sous- espace vectoriel

Montrer que F est un sous-espace vectoriel

[r]

Chapitre 1 : Espace vectoriel

Le rang d’une famille de vecteurs F ne change pas lorsqu’on effectue une opération élémentaire sur cette famille de vecteurs, car on ne change pas l’espace vectoriel engendré