MAT2011 : Analyse II
Devoir 1
Professeur : Steven Lu
( `A remettre le 25 octobre, mardi, jusqu’`a 17h. Aucun retard ne sera tol´er´e.)
1 [20 points] SoitA={0} ∪ {1n|n∈Z}, B =Q∩(0,1).
(a) Est-ce que A est un ferm´e dans R? dans Q? (b) Est-ce que B est un overt dans R? dans Q?
(c) Est-ce que A\ {0} est un overt dans A? dans Q?
(d) D´eterminer les int´erieurs, les adh´erences et les fronti`eres de A et B dans R et dans Q respectivement.
2 [20 points] Pour chaque fonction suivante, d´eterminer avec justification si la fonction est uniform´ement continue sur l’intervalle (0,∞) et si la fonction y est Lipschitzienne (et si oui, un rapport Lipschitzienne) :
(a) f(x) = √ x.
(b) f(x) = logx.
(c) f(x) = xsin(x12).
3 [15 points] Construire deux ferm´esF1etF2dansRtel queF1∩F2 =∅et dist(F1, F2) = 0. (Piste : On peut prendre F1 = N.) Montrer que ce n’est plus possible si un des F1 etF2 est compact.
4 [15] Soitf, g : [a, b]→R des fonctions continues telles quef ≥g sur [a, b]. Montrer que
Z b
a
f(x)dx≥ Z b
a
g(x)dx avec ´egalit´e si et seulement si f =g sur [a, b].
5 [15 points] Rappel qu’on appelle un e.v.n. complet un espace de Banach. Montrer que Rn est un espace de Banach avec n’importe quelle norme dans deux ´etapes : (1) Montrer que le produit de deux e.v.n. complets (Ei,| |i), i= 1,2,avec le norme produite|(x1, x2)|=max(|x1|1,|x2|2) est complet ; (2) Montrer que toutes les normes dansRnsont ´equivalentes. Conclure qu’un sous-espace vectoriel deR-dimension finie d’un espace vectoriel est toujours un ferm´e.
6 [15 points] Montrer que siA est une partie dense d’un espace m´etrique complet X, i.e. A = X, et f est une fonction r´eelle et uniform´ement continue sur A, alors il existe une fonction uniform´ement continueF surX telle que F|A =f.
(Piste : Pour x ∈ X et une suite (an) qui tend vers x, v´erifier que la limite limn→∞f(an) existe et qu’elle est ind´ependante du choix de la suite (an). Soit F(x) cette limite, et montrer que F est uniform´ement continue sur X.)
