Universit´e de Lille Master 1 Math´ematiques
M402 Analyse 20 septembre 2018
Feuille 3
Exercice 1
Montrer que les espaces suivants sont complets :
1. le graphe {(x, f(x))|x∈R}d’une fonction f :R→Rcontinue ; 2. l’espace des fonctions lipschitziennes de [0; 1] dans R, muni de la
normekfk=kfk∞+ Sup
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y| .
3. l’espace`1(N) des suites sommables, muni dek · k1. Exercice 2
SoitE =C([0; 1],R) et λ >0. Pour tout f ∈E, on pose Nλ(f) := Sup
x∈[0;1]
f(x)e−λx
1. Montrer que (E, Nλ) est un espace de Banach.
2. Soitf0 ∈E : montrer qu’il existe un unique ´el´ementf ∈E tel que
∀x∈[0; 1], f(x) =f0(x) + Z x
0
f(t2) dt
(indication : on pourra se placer dans(E, Nλ) avec λassez grand).
Exercice 3
Soit (E, d) un espace m´etrique complet, et (Fn)n une suite de ferm´es de E telle que E=S
nFn. Montrer que Ω =S
n
◦
Fn est un ouvert dense de E.
Exercice 4 SoitE =R[X].
1. Montrer queEn’est pas complet pour la normekP
aiXik:= max|ai|.
2. Montrer, `a l’aide du th´eor`eme de Baire, que E n’est complet pour aucune norme.
Exercice 5
SoitEun espace vectoriel norm´e admettant une base (alg´ebrique) d´enombrable (en)n∈N : montrer queE n’est pas complet.
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Exercice 6
SoitE un espace de Banach etϕ∈ Lc(E) telle que
∀x∈E, ∃nx |ϕnx(x) = 0
Montrer queϕest nilpotente,i.e. qu’il existe n∈N tel queϕn(x) = 0.
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