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Cours Réduction PC
I Matrices par blocs et sous-espaces stables
Soit An p,
où n = n1 + n2 et p = p1 + p2 (tous ces entiers étant strictement positifs) On peut écrire A sous forme de blocs 11 1221 22
A A
A A A
avec
Soit Bp q,
où q = q1 + q2 et toujours p = p1 + p2 (tous ces entiers étant strictement positifs) On peut écrire B sous forme de blocs 11 1221 22
B B
B B B
avec
Dans ce cas on a le produit par blocs :
11 12 11 12 11 11 12 21 11 12 12 22
21 22 21 22 21 11 22 21 21 12 22 22
A A B B A B A B A B A B
AB A A B B A B A B A B A B
Définition 1 : Un sous espace vectoriel F d’un espace vectoriel E est dit stable par f
E lorsque f (F ) F ; C’est-à-dire : pour tout xE, (xF f (x) F)Dans ce cas l’endomorphisme ˆf
F défini par : xF, f xˆ
f x
, est appelé endomorphisme induit par f sur F.Remarque : {0} et E sont des sev de E stables par tout endomorphisme de E
Questions : 1. Une sev de E n’est pas stable par f
E si, et seulement si………..2. Est-ce que la somme de sous espaces stables par f est stable par f ? 3. CNS pour que Vect {e1,…,ep} soit stable par f.
Proposition 1 : Si deux endomorphismes f et g de E, commutent alors, Ker g et Im g sont stables par f
Proposition 2 : Soient E un espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E de dimension p et = (e1,…,en) une base de E adaptée à F ( c’est-à-dire : ' = (e1,…,ep) est une base de F ). Soit f
E .F est stable par f si, et seulement si la matrice de l’endomorphisme f relativement à la base est triangulaire par blocs, c’est-à-dire de la forme : M =
0 A B
C
où A p
Questions :4. Quelles sont les tailles des matrices B, C et 0 ?
5. On note G = Vect {ep+1,…,en}, G est stable par f si, et seulement si,………..
F
x F f(x)F F
x F f(x)F
Lycée Public Chrestien de Troyes_PC_mathématiques M. Rharif Page 2 Proposition 3:
Soient E un espace vectoriel de dimension finie, Soient E1 , E2,…,Ep p sous-espaces vectoriels de E tels que E=
1 p i Ei
.
Alors f
E laisse stable chaque Ei si, et seulement si, sa matrice dans une base
1, 2,p
adaptée à cette somme est diagonale par blocs, c’est-à-dire de la forme :1 2
0 0
0
0
0 0 p
A A M
A
où chaque matrice Ai est d’ordre dim Ei.
Question 6 :
e e e e1, , ,2 3 4
la base canonique de 4. Et f l’endomorphisme canoniquement associé à1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 4 0 2 3 6 1
Former la matrice de f dans la base
e e e e2, , ,4 1 3
et en déduire un plan stable par fII Eléments propres
Définition 2: Soit E un -espace vectoriel et f
E . On dit que est valeur propre de f lorsqu’il existe un vecteur non nul xE tel que f (x) = x.
On dit que xE est vecteur propre de f associé à la valeur propre lorsqu’il est non nul et vérifie f (x) = x.
Si est valeur propre de f , le sous-espace propre de f associé à la valeur propre est E
f = Ker
f IdE
Définition 3: Les éléments propres de A n
sont ceux de l’endomorphisme de n canoniquement associé à A. On dit que est valeur propre de A lorsqu’il existe un vecteur non nul xn, de colonne associée Xn,1
tel que AX= X. Un vecteur xn, de colonne associée Xn,1
, est vecteur propre de A associé à la valeur propre lorsqu’il est non nul et vérifie AX= X. Si est une valeur propre de A, le sous-espace propre de A associé à la valeur propre est l’ensemble des xn tels que AX= X (où X est la colonne associée à x)
Questions : f
E7. Donner des CNS pour que soit valeur propre de f ?
8. Justifier que toute somme finie de sous-espaces propres associés à des valeurs propres non nulles est incluse dans Im f.
Proposition 4: f
E . Pour tout vecteur u non nul, la droite vect (u) est stable par f si, et seulement si ………Lycée Public Chrestien de Troyes_PC_mathématiques M. Rharif Page 3 Proposition 5: Si deux endomorphismes f et g de E, commutent alors, alors les sous-espaces propres de l’un sont stables par l’autre.
Proposition 6: 1. Si 1,…,p sont des valeurs propres deux à deux distinctes de f
E , alors les sous espaces propres associés1
E f ,…,Ep
f sont en somme directe.2. Toute famille de vecteurs propres de f
E associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.Définition 4: Soient E un -espace vectoriel de dimension finie et f
E .Le spectre de f, noté sp ( f ), est l’ensemble des valeurs propres de f .On définit de la même manière le spectre d’une matrice A n
.Questions : 9. Déterminer les éléments propres de la matrice 3 1 A 2 0
. On notera (e1,e2) la base canonique de 2 et f l’endomorphisme canoniquement associé à A.
10. Déterminer les valeurs propres ainsi que les sous-espaces propres associés d’un projecteur p de E.
11. Soient p * et
1, , ,2 p
une famille de nombres réels distincts deux à deux. On note pour tout i1,p,i
i
t
: t e
Sans revenir à la définition, montrer que la famille d’applications
1, , ,2p
est libre.III Polynôme caractéristique
Dans ce paragraphe les espaces vectoriels sont supposés de dimension finie non nulle. Entier non nul et In désigne la matrice unité
Proposition 7: Soient An
et . Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) sp ( A ) (ii)
AIn
n’est pas inversible (iii) det
InA
0Proposition-définition 8: Le polynôme caractéristique Ade An
est défini par : x, A
x det
xInA
Les valeurs propres de An
sont les racines de son polynôme caractéristique A Questions : 12. Former le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire.13. Exprimer Aen fonction A 14. Développer A pour A 2
.15. Calculer le polynôme caractéristique de A=
0 1 0 1 0 1 0 1 0
et en déduire ses valeurs propres.
16. Donner une matrice qui n’a pas de valeurs propre.
Lycée Public Chrestien de Troyes_PC_mathématiques M. Rharif Page 4 Proposition 9: 1. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et donc le même spectre.
2. Une matrice carrée et sa transposée ont le même polynôme caractéristique et donc le même spectre.
Définition 5: Le polynôme caractéristique fde f
E est égal à celui de sa matrice dans toute base de EDéfinition 6: Soit f
E . On appelle ordre de multiplicité de la valeur propre de f l’ordre de multiplicité de comme racine de f. On a la même définition pour An
.Proposition 10: Un endomorphisme f
E , avec dim E = n, a au plus n valeurs propres distinctes.On a le même résultat pour An
.Proposition 11 : E un -espace vectoriel et dim E = n. Soit f
E de polynôme caractéristiquef. 1. fest de degré n et f
x xnTr f x
n1 ( 1) detn
f2. Si en plus fest scindé alors
1 n
f k
k
X X
et :
1 n
k k
Tr f
et
1
det
n k k
f
On a les mêmes relations pour An
Questions : 17. Si Aest scindé avec
1
i
p r
A i
i
X X
alors Tr ( A ) = ………et det ( A ) =………..18. An
et une valeur propre complexe de A. Que peut-on dire de ? 19. Donner un exemple de matrice dont le polynôme caractéristique n’est pas scindé.Proposition 12 : Soit f
E et F un sous-espace vectoriel de E non réduit à {0} et stable par f.Si f induit ˆf
F , alors le polynôme fˆ divise le polynôme fCorollaire 13 : Soit f
E1. La dimension d’un sous-espace propre est au plus égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.
2. La dimension d’un sous-espace propre associé à une valeur propre simple est égale à 1
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IV Réduction des endomorphismes et des matrices carrées.
Dans ce paragraphe les espaces vectoriels sont supposés de dimension finie non nulle.
IV.1 Diagonalisation Définition 7:
1. Un endomorphisme f
E est dit diagonalisable lorsque E est somme directe des sous-espaces propres de f.2. Une matrice An
est dite diagonalisable lorsque l’endomorphisme de n canoniquement associé à A est diagonalisable.Questions :
20. Soit u
E admettant une unique valeur propre . Sous quelle CNS, u est-il diagonalisable ?21.
1 0 1
0 0
0 0 1 A
Cette matrice est-elle diagonalisable ?
22. Un projecteur est –il diagonalisable ? (même question pour une symétrie) Proposition 14 : Soit f
E . Il y a équivalence entre les assertions suivantes : (i) L’endomorphisme f est diagonalisable.(ii) Il existe une base de E constituée de vecteurs propres de f.
(iii)
1
dim dim i
p
i
E E f
où sp ( f ) = {1,…,p}Corollaire 15 : Une matrice An
est diagonalisable si, et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.Question 23 : Soit An
diagonalisable et semblable à une matrice diagonale D = P1 A P où P n
. Que représentent les colonnes de la matrice P ?Question 24: Expliquer comment on peut calculer les puissances de A lorsqu’elle est diagonalisable.
Corollaire 16 condition suffisante de diagonalisabilité: Si dim E = n et f
E admet n valeurs propres distinctes alors chaque sous-espace propre est de dimension 1 et f est diagonalisable.Théorème 17 : f
E est diagonalisable si, et seulement si, il vérifie les deux conditions suivantes : 1. Son polynôme caractéristique f est scindé sur .2. Pour toute valeur propre de f, la dimension du sous-espace propre associé est égale à l’ordre de multiplicité de cette valeur propre.
On a les mêmes résultats pour An
Lycée Public Chrestien de Troyes_PC_mathématiques M. Rharif Page 6 IV.2 Trigonalisation
Définition 8: 1. Un endomorphisme f
E est dit trigonalisable lorsqu’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est triangulaire supérieure.2. Une matrice An
est dite trigonalisable lorsque l’endomorphisme de n canoniquement associé à A est trigonalisable, c’est-à-dire lorsqu’elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.Question 25: Soit An
trigonalisable. Montrer que A est semblable à une matrice triangulaire inférieure.Théorème 18 : Un endomorphisme f
E est trigonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique f est scindé sur . (On a le même résultat pour An
).Corollaire 19 : 1. Si E est un -espace vectoriel, alors tout endomorphisme f
E est trigonalisable.2. Toute matrice carrée de n
est trigonalisable.Question 26 : Soit A2
ayant une valeur propre double . Montrer que A est soit diagonale soit semblable à 1 0
Question 27 : Est-ce que l’ensemble des matrices diagonalisables dans ℳ (𝕂) est un sous espace vectoriel de ℳ (𝕂) ? Question 28 : Est-ce que l’ensemble des matrices trigonalisables dans ℳ (𝕂) est un sous espace vectoriel de ℳ (𝕂) ?
