Universit´e de Nantes. 2007/2008
L 3 Th´eorie de la mesure et int´egration
Devoir ` a la maison n o 2
Mesurabilit´e et Int´egration
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a rendre au plus tard le 27 mars 2008
Exercice 1. 1. Montrer que pour t > u, la fonction
gu(t) =tln 1−u
t
est croissante.
2. Soit a >0. Calculer la limite lorsque ntend vers +∞de Z n1/a
0
1−xa
n n
dx.
Exercice 2 (R´eciproque au th´eor`eme de Lebesgue). Soient(fn), f une suite de fonctions int´egrables. On suppose que(fn)converge dans L1 vers f.
1. Montrer qu’il existe une suite (in)n∈N telle que pour tout n,
kfin+1−fink1≤2−n. 2. Soit gn=fin+1−fin. Montrer que la s´erieP
n∈N|gn| est une fonction int´egrable.
3. En d´eduire queP
n∈N|gn| converge presque partout et ainsi quefin converge presque partout.
4. Identifier un chapeau int´egrable de (fin)n, i.e. trouver une fonction g∈ L1 telle que pour tout n∈N,|fin| ≤g.
5. Adapter le r´esultat pr´ec´edent pour montrer queL1 est un espace complet.
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